Bestimme jeweils alle reellen Lösungen von der folgenden Gleichung: e2x + 2ex = 8

Question

Aufgabe:

Bestimme jeweils alle reellen Lösungen von der folgenden Gleichung: e^2x + 2e^x = 8

Problem/Ansatz:

Soweit isch weiß ist e die Eulersche zahl, also eine Konstante. Könnte man das x durch Wurzelziehen lösen und wenn ja, wie genau?

Answer 1

Hallo,

e^(2x) + 2e^x = 8  z=e^x

z^2 +2 z -8=0

z1,2= -1 ± √(1+8)

z1,2= -1 ± 3

z1= 2

z2= -4

Resubstitution:

z=e^x

2 =e^x |ln(..)

ln(2)= x

-4 =e^x ->keine Lösung

Answer 2

Soweit isch weiß ist e die Eulersche zahl

Ja.

e^2x + 2e^x = 8

Es ist \(e^{2x} = \left(e^x\right)^2\) wegen Potenzgesetzen. Die GLeciuhung lässt isch also umformen zu

        \(\left(\mathrm{e}^x\right)^2 + 2\mathrm{e}^x = 8\).

Substituiere \(z = \mathrm{e}^x\); dann hast du eine quadratische GLeichung. Löse sie und setze die Lösung in

        \(z = \mathrm{e}^x\)

ein.

Comments

Ahh, die Umformung macht das Ganze gleich viel einfacher. Danke dafür!

Answer 3

Ohne Substitution:

\( e^{2x} \) + 2\( e^{x} \) = 8

(\( e^{x} \) +1)^2 = 8+1 = 9|\( \sqrt{} \)

1.) \( e^{x} \) =-1+3=2    x=ln(2)

2.)\( e^{x} \) =-1-3= - 4  →  keine Lösung in ℝ

Ich stelle mal die Zeichnung GeoGebra ein. Da kommen verschiedene Werte raus. Wer kapiert das?

ln(2)≈0,69  Das müsste aber auch bei dem grünen Graph so sein!