Bestimmen Sie alle kritischen Stellen der Funktion f: R - R, f(x)=2ex - e2x

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie alle kritischen Stellen der Funktion f: R -> R, f(x)=2e^x - e^2x

Geben Sie für alle kritischen Stellen an, ob ein lokales Minimum oder ein lokales Maximum vorliegt. Begründen Sie ihre Aussage.

Problem/Ansatz:

Ich bilde die ersten beiden Ableitungen:

2e^x-2e^2x und 2e^x - 4e^2x .

Nun erste Ableitung =0. Wie ich hier gelernt habe, kann ich dazu den Satz vom Nullprodukt nutzen. Somit:

(1-x) =0 v 2e^x = 0 Damit erhalte ich x1=1 und x2=0. Stimmt das bis hierhin?

Nun in die 2 Ableitung einsetzen:

für f´´(0) erhalte ich -2 < 0 also HP.

Bei f´´(1) habe ich jedoch ein Problem. Wie kann ich 2e-4e² berechnen? Oder kann ich einfach sagen <0 ? Oder kommt da 0 raus und somit weder Hochpunkt noch Tiefpunkt?

Answer 1

Ableitungen

f(x) = 2·e^x - e^(2·x)

f'(x) = 2·e^x - 2·e^(2·x)

f''(x) = 2·e^x - 4·e^(2·x)

Extremstellen

f'(x) = 2·e^x - 2·e^(2·x) = 2·e^x·(1 - e^x) = 0

2 und e^x werden nie null, daher

1 - e^x = 0 --> x = 0

f''(0) = 2·e^0 - 4·e^(2·0) = - 2 → Lokales Maximum

Comments

"2 und ex werden nie null"

ich schreibe dann einfach direkt 2e^x = 0 oder? Würde die andere Gleichung keine 0 bringen würde ich die 0 dann nicht in f´´ einsetzen oder?

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ich schreibe dann einfach direkt 2ex = 0 oder?

Ich schreibe 2 ≠ 0 ; e^x ≠ 0 oder auch 2e^x ≠ 0

Würde die andere Gleichung keine 0 bringen würde ich das trotzdem in f´´ einsetzen oder?

Würde kein Faktor 0 werden dann blieben nur noch Randextrama. Da wir hier keinen Rand haben also keine Extrema.

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Ok alles klar, danke.

Answer 2

Hallo

Satz vom Nullprodukt ist richtig, aber in 2e^x-2e^2x steckt doch nirgends 1-x? zur Probe kannst du auch x=^1 einsetzen und hasft f'(1`2e-2e^2≠0

richtig ist das Produkt 2e^x*(1-e^x)

Wenn das HA sind lohnt sich auch immer einfach ein Funktionsplot zur Kontrolle!

Gruß lul

~plot~ 2*e^x-e^(2*x) ~plot~

Comments

Stimmt...

Dann erhalte ich für beide Gleichungen 0 und das Problem hat sich gelöst. Da ex=1 und davon der log ist x=0. Dann in f´´ einsetzen und ich habe einen HP bei 0. Richtig?

Answer 3

Somit: (1-x) =0 v 2e^x = 0

Nein. Stattdessen

        \((1 - e^x) = 0 \vee 2e^x = 0\).

Comments

Stimmt. Danke.

Answer 4

2e^x-2e^(2x) =0

2e^x(1-e^x)= 0

1-e^x = 0

e^x = 1

x= ln1 = 0

Nur dieser Faktor kann 0 werden.

Comments

Genau das war meine Frage an einen anderen User. Das heißt 2ex = 0 und ich brauche die Gleichung nicht weiter betrachten und somit das Ergebnis auch nicht in f´´ einsetzen korrekt?