Bestimmen Sie die kritischen Stellen und die lokalen Extrema von f

Question

Es sei \(f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \) definiert durch

\(f(x,y)= x^2-xy+y^2-x+y+2 \)

a) Bestimmen Sie die kritischen Stellen und die lokalen Extrema von \(f \)

b) Bestimmen Sie das Maximum und das Minimum von \(f \) auf der Menge

\(Q= \{(x,y)\in \mathbb{R}^2 | \: \: ||(x,y)||_\infty \leq 1 \} \).

Hinweis: bei b) muss \(\partial Q \) gesondert betrachtet werden. Dazu muss der Rand parametrisiert werden, beispielsweise wie folgt

\(\partial Q = \{ (t,-1) | -1  \leq t \leq 1  \}\cup \{ (1,t) | -1  \leq t \leq 1  \}\cup \{ (t,1) | -1  \leq t \leq 1  \} \cup \{ (-1,t) | -1  \leq t \leq 1  \} \)

Comments

Ansatz/Idee?

Answer 1

a) kritische Stellen und lokales Extremum:

\(f(x,y)= x^2-xy+y^2-x+y+2 \)

1.)\( \frac{df(x,y)}{dx} \)  =  2x-y-1

2.)\( \frac{df(x,y)}{dy} \) =-x+2y+1

1.) 2x-y-1=0   →2x=y+1  →  x=\( \frac{y+1 }{2} \)  

2.)  -x+2y+1=0 →2y =x-1 →  y=\( \frac{x-1 }{2} \)

Kritische Stelle bei x =\( \frac{1}{3} \)  und y = -\( \frac{1}{3} \)

\( \frac{d(2x-y-1)}{dx} \)=2>0  → Minimum

Answer 2

Hallo,

Lösung kannst Du mit Wolfram Alpha  prüfen:

stationary points \( \quad x^{2}-x y+y^{2}-x+y+2 \)

Result:
\( x^{2}-x y+y^{2}-x+y+2=\frac{5}{3} \) at \( (x, y)=\left(\frac{1}{3},-\frac{1}{3}\right) \quad \) (minimum)