Finden Sie alle kritischen Punkte von f.

Question

Aufgabe:

Es sei f : R2 → R die Funktion
f(x, y) = x^2 y(x − y + 1).

Problem/Ansatz:

Finden Sie alle kritischen Punkte von f.
Bestimmen Sie bei jedem kritischen Punkt, ob es sich um ein lokales Maximum, ein lokales Minimum oder einen Sattelpunkt handelt. (Ein Sattelpunkt ist ein kritischer Punkt, der weder ein lokales Maximum noch ein lokales Minimum ist.)

Brächte Hilfe,

Danke

Comments

Ich nehme an, da soll irgendwo ein Quadrat stehen?

---

f(x, y) = x^2 y(x − y + 1).

Sorry so ist es richtig

---

Hast du schon den Gradienten ausgerechnet?

---

Nein auch noch nicht

---

Dann rechne den Gradienten aus. Bestimme anschließend dessen Nullstellen.

Answer 1

f(x, y) = x^2·y·(x - y + 1) = x^3·y - x^2·y^2 + x^2·y

Gradient

f'(x, y) = [3·x^2·y - 2·x·y^2 + 2·x·y, x^3 - 2·x^2·y + x^2] = [0, 0] --> (x = - 1/2 ∧ y = 1/4) ∨ (x = -1 ∧ y = 0) ∨ x = 0

Hesse-Matrix

f''(x, y) = [6·x·y - 2·y·(y - 1), 3·x^2 + 2·x·(1 - 2·y); 3·x^2 + 2·x·(1 - 2·y), - 2·x^2]

Answer 2

Hallo,

.......................................

Lösung kannst Du mittels Wolfram Alpha kontrollieren:

https://www.wolframalpha.com/

stationary points \( \quad x^{2} y(x-y+1) \)
Results
\( x^{2} y(x-y+1)=0 \) at \( (x, y)=(-1,0) \quad \) (saddle point)
\( x^{2} y(x-y+1)=\frac{1}{64} \) at \( (x, y)=\left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{4}\right) \quad \) (maximum)