Wie überprüft man die Teilmenge auf Offenheit, Angeschlossenheit und die Ränder?

Question

Aufgabe:Überprüfen Sie die folgenden Teilmengen des R^2 auf Offenheit und Abgeschlossenheit und bestimmen Sie den Rand der Menge. Skizzieren Sie ferner die Mengen.

(a) A := {(x,y) ∈ R^2; x > 0,y = x2},

   (b) B := {(x,y) ∈ R^2; x < y2},

   (c) C := {(x,y) ∈ R^2; x2 +y2 < 1}∪{(x,y) ∈ R^2; x = 1}

kann mir bitte jemand helfen und mir ungefähr erklären wie man das rechnet?

Answer 1

A := {(x,y) ∈ R^2; x > 0,y = x^2},  sieht so aus

(nur rechts der y-Achse)

~plot~ x^2*(x>0) ~plot~

Die Menge ist nicht offen; denn z.B. um den Punkt P(1;1) ∈ A

kann man eine beliebigen ε - Ball herumlegen, der immer

auch Punkte [ z.B. (1;1+ε/2 )   ] enthält, die nicht in A sind.

abgeschlossen ist sie auch nicht; denn das Komplement

A_quer von A ist nicht offen, weil es den Punkt (0;0) enthält,

aber für jedes 0 < ε < 1 ist ( ε/2 ;  ε^2 /4 ) ein Punkt

im ε - Ball um (0;0), der zu A, also nicht zu A_quer gehört.

Versuche doch die anderen mal selbst und melde dich wieder:

Eine Aufgabe pro Frage !