Linalg - Unterschied Erzeugnisraum und Erzeugnis und vier weitere Begriffe...?

Question

Frage: Was sind folgende Begriffe?

1. Erzeugnis
2. Erzeugendensystem
3. Lineare Hülle
4. Span
5. Die Menge aller Linearkombinationen
6. Und wie heisst eine Teilmenge, die einen Untervektorraum erzeugt.

Problem/Ansatz:

Ich denke ich habe das noch nicht ganz verstanden und das führt bei mir zu Problemen, dabei bin ich überzeugt, dass es einfach ist.


Ich habe das so verstanden: 


Bemerkung zum Bild:

Wenn \(V\) der Vektorraum = \(\mathbb{R}^3\) ist. 
Dann ist die Teilmenge \(T\), gegeben durch die Einheitsvektoren \(e_1\) und \(e_2.\)

Jetzt will ich aber wissen, was \(T\) überhaupt aufspannt, das kann ich nur herausfinden, indem ich die Linearkombination mache und sehe was dabei herauskommt.
Weiter hilft mir die Info, dass \(e_1\) und \(e_2\) zueinander linearunabhängig sind zu wissen, dass bei einer Linearkombination der beiden eine Ebene herauskommt. Und nicht nur eine Gerade, denn wären \(e_1\) und \(e_2\) linear abhängig, so käme bei deren Linearkombination eine Gerade heraus. 

Würde man nun die mir Unbekannten Begriffe von ganz oben zu den Sachen auf meinem Bild zuordnen ?

Answer 1

Einige dieser Begriff sind vollständig synonym, sie bedeuten alle das Gleiche

1. Erzeugnis3. Lineare Hülle4. Span5. Die Menge aller Linearkombinationen

und 
2. Erzeugendensystem heisst eine Teilmenge, die einen Untervektorraum erzeugt.

Bei deinem  Beispiel kannst du also sagen

<T> ist das Erzeugnis
             die Lineare Hülle
             der  Span
                Die Menge aller Linearkombinationen

                                von T.

Andererseits ist T ein  Erzeugendensystem für diesen Vektorraum,

den du mit der Ebene (durch den 0-Punkt) identifiziert hast,

bzw. T erzeugt diesen Untervektorraum von R^3.