Äquivalenz zeigen: (1)f ist regulär (2)Für alle w∈V gilt: Falls für jedes v∈V schon f(v,w) =0K ist, dann ist w=0v.

Question

Aufgabe:
Seien K ein Körper und V ein endl. erzeugter K-VR.
Seien σ∈Aut(K) und f eine σ-Bilinearform auf V. Zeigen Sie, dass dann äquivalent sind:

(1)f ist regulär
(2)Für alle w∈V gilt: Falls für jedes v∈V schon f(v,w) =0_K ist, dann ist w=0_v.

(Definition von Regulär: Falls v∈V ist und f.a. w∈V schon f(v,w)=0_K ist, dann ist v=0_v)

Problem/Ansatz:

ist dieser Beweis so richtig (nur eine Richtung)?
Beweis:
(2)->(1)
Sei n:=dim_K(V) und sei v:=(x₁,...,x_n) beliebig und w:=(y₁,...,y_n)

Es ist 0_k=f(v,w)= f((x₁,...,x_n),(y₁,...,y_n))=x₁*y₁+...+x_n*y_n=y₁*x₁+...+y_n*x_n=f((y₁,...,y_n),(x₁,...,x_n))=f(w,v)
Damit ist f(w,v)=0_K.
Also ist w=0_K und somit ist f regulär.