Zeigen Sie, dass En + B regulär ist und diese Ungleichung gilt

Question

Aufgabe:

Es sei ||·|| : ℝ^nxn → ℝ eine Matrixnorm. Weiterhin sei B ∈ ℝ^nxn mit ||B|| < 1. Sei E_n die nxn-Einheitsmatrix.
Zeigen Sie, dass E_n + B regulär ist und dass

||(E_n+B)^-1|| ≤ \( \frac{1}{1 - ||B||} \) gilt.

Kann mir jemanden einen Hinweis geben, wie ich hier vorgehen kann?

Comments

    ||(E_n + B)^-1|| · ||E_n + B|| ≤ \( \frac{||En + B||}{1-||B||} \)
⇔ ||(E_n + B)^-1 · (E_n + B)|| ≤ \( \frac{||En + B||}{1-||B||} \)
⇔ ||E_n|| ≤ \( \frac{||En + B||}{1-||B||} \)
⇔ 1-||B|| ≤ ||E_n + B|| ≤ ||E_n|| + ||B||
⇔ 1 ≤ ||En|| + 2 ||B||
⇔ 1 ≤ 1 + 2||B||
⇔ 0 ≤ 2||B||

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Warum gilt die 1. Äquivalenz?

Answer 1

Es geht hier um die Neumannreihe, in Anlehnung an die geometrische Reihe. Ist \(||B||<1\), so konvergiert die Reihe \(\sum\limits_{k=0}^\infty B^k\) und es gilt \((E_n+B)^{-1}=\sum\limits_{k=0}^\infty B^k\). Vielleicht hilft dir das ja schon weiter.

Comments

(E_n + B)^-1 = \( \sum\limits_{k=0}^{\infty}{B^k} \) gilt.
Dann muss ich ja irgendwie zeigen, dass

(E_n + B)^-1 = \( \sum\limits_{k=0}^{\infty}{B^k} \) = \( \frac{1}{1-B} \) ≤ \( \frac{1}{1-||B||} \) gilt?

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Ja, die Abschätzung musst du dann noch zeigen.