(a) Zeigen Sie: Ist \( A \) regulär, so gilt \( \lambda \neq 0 \) und \( \lambda^{-1} \) ist ein Eigenwert von \( A^{-1} \) mit \( \operatorname{Eig}( A ; \lambda)=\operatorname{Eig}\left(A^{-1} ; \lambda^{-1}\right) \).
Du musst nur die Definitionen verwenden:
Sei \( A \in K^{N \times N} \) und \( \lambda \in K \) ein Eigenwert von \( A \).
==> Es gibt ein \( x \in K^N \) mit \( x \ne 0 \) und \( A\cdot x = \lambda \cdot x \)
Ist \( A \) regulär, so existier Ist \( A^{-1} \) regulär und es folgt
\( A^{-1} \cdot (A\cdot x )= A^{-1} \cdot (\lambda \cdot x ) \)
==> \( (A^{-1} \cdot A) \cdot x = (A^{-1} \cdot \lambda ) \cdot x \)
==> \( I_{N} \cdot x = (\lambda \cdot A^{-1} ) \cdot x \)
==> \( x = \lambda \cdot ( A^{-1} \cdot x ) \)
Und wegen \( \lambda \neq 0 \) existiert \( \lambda^{-1} \)
==> \( \lambda^{-1} \cdot x = ( \lambda^{-1} \cdot \lambda ) \cdot ( A^{-1} \cdot x ) \)
==> \( \lambda^{-1} \cdot x = A^{-1} \cdot x \)
Und wegen \( x \ne 0 \) heißt das : \( \lambda^{-1} \) ist ein Eigenwert von \( A^{-1} \) .
Und im Eigenraum \( \operatorname{Eig}( A ; \lambda) \) liegen außer dem 0-Vektor genau
diejenigen \( x \in K^N \) , für die die obige Umformung möglich ist, also
\( \operatorname{Eig}( A ; \lambda)=\operatorname{Eig}\left(A^{-1} ; \lambda^{-1}\right) \).