Zeigen Sie, dass dass (C-i*En) regulär, wenn C eine selbstadjungierte Matrix ist

Question

Hallo.

Hat vielleicht jemand eine Idee wie ich folgendes Problem angehen kann?

Ich habe eine selbstadjungierte Matrix C, aus den komplexen Zahlen.  Also C* = C  (C = die adjungierte Matrix von C). Und nun soll ich zeigen, dass die Matrix (C-i*En) regulärt ist. (C-i*En) ist die Matrix die Entsteht wenn ich i*En von C abziehe.

Ich hab schon versucht, eine Inverse zu (C-i*En) zu finden, bisjetzt war ich aber erfolglos.

Vl hat jemand eine bessere Idee.

Liebe Grüße

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Tipp: Wenn \(\lambda\in\mathbb C\) ein Eigenwert von \(C-\operatorname i E_n\) ist, dann ist \(\lambda+\operatorname i\) ein Eigenwert von \(C\), d.h. es ist \(\lambda+\operatorname i\in\mathbb R\), also insbesondere \(\lambda\ne0\).

Answer 1

Hallo,

sei \( \lambda \) ein Eigenwert von \( C - i E \), das heißt \( (C - i E) v = \lambda v \). Hieraus folgt \( C v = (\lambda + i) v \).

Da \( C \) selbstadjungiert ist, hat sie nur reelle Eigenwerte: \( \lambda + i \in \mathbb{R} \). Daraus folgt allerdings \( \textrm{Im}(\lambda) = -1 \) beziehungsweise \( \lambda = r - i \) mit \( r = \textrm{Re}(\lambda) \in \mathbb{R} \), insbesondere ist \( \lambda \neq 0 \).

Damit ist die Matrix \( C \) regulär.

Grüße

Mister