Zeigen Sie: Ist A regulär, so gilt \lambda \neq 0 und \lambda^{-1} ist ein Eigenwert von A^{-1} mit …

Question

Aufgabe:

Sei \( A \in K^{N \times N} \) und \( \lambda \in K \) ein Eigenwert von \( A \).

(a) Zeigen Sie: Ist \( A \) regulär, so gilt \( \lambda \neq 0 \) und \( \lambda^{-1} \) ist ein Eigenwert von \( A^{-1} \) mit \( \operatorname{Eig}(  A ; \lambda)=\operatorname{Eig}\left(A^{-1} ; \lambda^{-1}\right) \).
(b) Zeigen Sie: Für \( \mu \in K \) ist \( \lambda-\mu \in K \) ein Eigenwert von \( A-\mu I_{N} \) mit \( \operatorname{Eig}(A ; \lambda)=\operatorname{Eig}\left(A-\mu I_{N} ; \lambda-\mu\right) \).

(c) Zeigen Sie: Ist \( S \in K^{N \times N} \) regulär und sei \( \mathbf{x}=S^{-1} \mathbf{e}^{1} \) ein Eigenvektor von \( A \) zu \( \lambda \), so gilt
\( S A S^{-1}=\left(\begin{array}{cccc}\lambda & * & \ldots & * \\ 0 & * & \ldots & * \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & * & \ldots & *\end{array}\right) \)

(d) Eine Matrix \( A \) heißt Projektionsmatrix, falls \( A^{2}=A \). Bestimmen Sie die Eigenwerte einer Projektionsmatrix \( A \).
(e) Eine Matrix \( A \) heißt nilpotent, falls \( A^{n}=0 \) für ein \( n \in \mathbb{N} \) gilt. Bestimmen Sie die Eigenwerte einer nilpotenten Matrix \( A \).

Falls mir jemand irgendwie bei der Aufgabe helfen könnte, wäre ich sehr dankbar

Answer 1

(a) Zeigen Sie: Ist \( A \) regulär, so gilt \( \lambda \neq 0 \) und \( \lambda^{-1} \) ist ein Eigenwert von \( A^{-1} \) mit \( \operatorname{Eig}(  A ; \lambda)=\operatorname{Eig}\left(A^{-1} ; \lambda^{-1}\right) \).

Du musst nur die Definitionen verwenden:

Sei \( A \in K^{N \times N} \) und \( \lambda \in K \) ein Eigenwert von \( A \).

==>  Es gibt ein \(  x \in K^N \)  mit  \( x \ne 0 \)  und \( A\cdot x = \lambda \cdot x   \)

  Ist \( A \) regulär, so existier Ist \( A^{-1} \) regulär  und  es folgt

\( A^{-1}  \cdot (A\cdot x )= A^{-1} \cdot (\lambda \cdot x ) \)

==>    \( (A^{-1}  \cdot A)  \cdot x = (A^{-1} \cdot \lambda ) \cdot x \)

==>     \( I_{N}    \cdot x = (\lambda \cdot A^{-1} ) \cdot x \)

==>    \(  x = \lambda \cdot (  A^{-1}  \cdot x ) \)

Und wegen \( \lambda \neq 0 \) existiert \( \lambda^{-1} \)

==>    \( \lambda^{-1}  \cdot x = ( \lambda^{-1}  \cdot \lambda ) \cdot (  A^{-1}  \cdot x ) \)

==>    \( \lambda^{-1}  \cdot x =  A^{-1}  \cdot x \)

Und wegen \( x \ne 0 \)  heißt das : \( \lambda^{-1} \) ist ein Eigenwert von \( A^{-1} \) .

Und im Eigenraum \( \operatorname{Eig}(  A ; \lambda) \) liegen außer dem 0-Vektor genau

diejenigen \(  x \in K^N \) , für die die obige Umformung möglich ist, also

 \( \operatorname{Eig}(  A ; \lambda)=\operatorname{Eig}\left(A^{-1} ; \lambda^{-1}\right) \).