Komplexe Zahlen - Lösungsmenge und Umformung

Question

Aufgabe:

1.)  Die kart. Form soll angegeben werden .

2.) 2+1i ist eine Lösung.

Ich soll die restlichen Lösungen angeben.

Kann mir jemand bei den Aufgaben behilflich sein?

Danke

 Ansatz :

1) Wie man auf die kart. Koordinaten kommt, weiß ich eigentlich : 16*(cos(4*Pi/3))+16*i sin(4*pi/3))

Nur wüsste ich jetzt nicht, wie ich es im Kopf berechnen soll (Kein Tr erlaubt)

2)kein Ansatz gefunden

Comments

(2)  Wenn z eine Lösung ist, dann sind -z,iz,-iz auch Lösungen.

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Wie kommst du drauf ? ( -z verstehe ich, aber wieso iz und -iz ?)

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Es ist (iz)⁴=i⁴z⁴=z⁴.

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Wenn es aber iz wäre hätte ich beim realteil auch ein i bedingt durch die Multiplikation.

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Mit z=2+i ist auch auch iz=-1+2i Lösung. Passt auch zur Kontrolllösung.

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Zur b ) Selbst wenn ich den Betrag bei b) berechnen würde käme 2 raus und nicht 1 (???)

Beim Winkel kommt auch was anderes raus : 60 Grad

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Im Originaltext heißt es, x und y sollen positiv sein. Dann gibt's tatsächlich nur eine.

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Auf die Habs raus = 16(4te Wurzel) = 2

Der Winkel 4*Pi/3= (1/3)Pi = 60 Grad ^^
== Richtig, da = (1^2+3)^1/2=4^1/2=2
                      =  arctan (3^1/2)/1=60 Grad






Wie geht es bei der 2.Aufgabe ?

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z₁ = 2 + i ist vorgegeben.
z₂ = -z₁ = -2 - i.
z₃ = iz₁ = -1 + 2i.
z₄ = -iz₁ = 1 - 2i.

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und was wäre bei z^5 ?

Es gibt doch die Methode mit der e- Zahl : r*e^(i*Winkel)

Wie soll ich denn bitte ohne Tr den Winkel 24/-7 berechnen ?

PS: Also darf man , wenn man die Lösungsmengen angeben soll; den "Trick" mit i anwenden ?

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Vermutlich sollst du das in diesem speziellen Fall gar nicht. Es ist keineswegs verboten, im konkreten Fall vom üblichen Schema abzuweichen, wenn man sich den Lõsungsweg dadurch simpler gestalten kann.

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Danke dir für deine Hilfe

Answer 1

Hallo

das und sin von π/6, π/3, π/4. π/2, π muss man auswendig wissen, oder schnell am halben gleichseitigen Dreieck (π/6, π/3) oder dem halben Quadrat (π/4) sehen können, die vielfachen davon am Kreis.

sin(π/6)=cos(π/3)=1/2  sin(π/3)=cos(π/6)=1/2*√3 sin(π/4)=cos(π/4)=1/2*√2

Wenn z^4=16*(cos(4π/3)+i*sin(4π//3) gibt es nicht nur eine Lösung sondern 4. aus dem Betrag hier 16 zieht man die 4 te Wurzel  und die Winkel werden geviertelt man hat dann z1=2*(cos(π/3)+i*sin(π//3)

wegen (cos(4π/3)+i*sin(4π//3)=(cos(4π/3+k*2π)+i*sin(4π//3+k*2π) kommen noch 3 weitere Ergebnisse  indem man 4π//3+k*2π viertelt  also π//3+k*2π/4 k=1,2,3

die zweite wandelst du in die Winkelform um indem man den Betrag ausklammert. und dann wie 1)

oder mit 2+i ist auch 2-i Lösung, dann kann man durch z^2 =(2+i)*(2-i)=5  teilen  und hat nur noch eine quadratische Gleichung.

Gruß lul

Comments

1) Das mit dem vierteln des Betrags verstehe ich, nur verstehe ich nicht genau, was du mit den Winkeln meinst .

Bei der 1 steht außerdem, dass sie nur eine Lösung hat (in der Aufgabenstellung) Lösungen wären x=1 y = Wurzel3

2) Der Betrag ist 25, beid er Phase kommt tan 24/-7 raus (Wie ohne Tr ?)

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Hier nochmal die komplette Aufgabe .

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Warum sollte denn 2-i auch eine Lösung sein?

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Die Aufgabe sieht bei b) nur eine Lösung vor.

Die lautet x=1 und y=Wurzel 3

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Selbst wenn ich den Betrag bei b) berechnen würde käme 2 raus und nicht 1 (???)

Beim Winkel kommt auch was anderes raus : 60 Grad

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Habs raus = 16(4te Wurzel) = 2

Der Winkel 4*Pi/3= (1/3)Pi = 60 Grad ^^

== Richtig, da = (1^2+3)^1/2=4^1/2=2

                       =  arctan (3^1/2)/1=60 Grad

Wie geht es bei der 2.Aufgabe ?