Aufgabe:
Du hast eine Zahlenfolge \(a_n, n \in \mathbb{N}\) wie folgt gegeben:
$$ a_1 = 1 , \\ a_{n+1} = a_n + (16n - 2).$$
Du sollst nun per Induktion beweisen, dass
$$a_n = (4n-3)(2n-1)$$
für alle n aus IN grössergleich 1 gilt. Nennen wir diese Formel, die zu beweisende Formel.
Als allererstes würde ich mit den bereits gegebenen, bekannten Formeln \(a_1\) und \(a_{n+1}\) die zu beweisede Formel \(a_n\) für n = 1, n = 2, n = 3 zeigen:
***Induktionsanfang mit n=1:
Gegeben ist \(a_1 = 1.\)
Jetzt setzst du n=1 in die zu beweisende Formel \(a_n\) ein und erhältst:
\(a_1 = (4(1)-3)(2(1)-1) = (4-3)(2-1) = (1)(1) = 1. \)
Und du siehst, dass es stimmt.
Analog machst du das mit n=2 und n=3. Und du wirst sehen, dass das stimmt.
Allerdings benutzt du \(a_{n+1} = a_n + (16n - 2) \) um n=2 und n=3 zu berechnen.
***Induktionsvoraussetzung / behauptung:
Weil du gesehen hast, dass (mithilfe \(a_1\) und \(a_{n+1}\) ) die zu beweisende Formel \(a_n\) für ein beliebiges aber fixes n≥1 stimmt, kannst du sagen, dass die zu beweisende Formel
\(a_n = (4n-3)(2n-1)\) gilt.
(Du wirst sie im Induktionsschluss verwenden müssen).
***Induktionsschluss:
Oben hast du gesehen dass die zu beweisende Formel für ein belibiges aber fixes n gilt, oder?
Und nun musst du zeigen, dass die zu beweisende Formen \( a_n \) für n= n+1 gilt.
Also nimmst du \(a_n = (4n-3)(2n-1)\) und ersetzst jedes n darin durch n+1.
Dann bekommst du: $$ a_{n+1} = (4(n+1)-3)(2(n+1)-1)$$
und das soll gleich der dir bereits am Anfang gegebenen Formel: $$a_{n+1} = a_n + (16n - 2)$$ sein.
Also setzst du die zu beweisende Formel (mit n+1) mit der Formel \(a_{n+1}\) , die dir am Anfang gegeben wurde gleich und erhältst: $$ (4(n+1)-3)(2(n+1)-1) = a_n + (16n - 2) $$
Jetzt aber siehst du, dass du einfach ausmultiplizieren könntest aber rechts vom Gleichheitszeichen hast du noch ein \(a_n\) stehen. Also die Aussage für n. Da du aber im Induktionsanfang genau diese für beliebige aber fixe n auf Richtigkeit überprüft hast und in der Induktionsvoraussetzung das festgestellt hast, kannst du das \(a_n\) ersetzten mit \(a_n = (4n-3)(2n-1).\)
Dann hast du neu stehen:
(4(n+1)-3)(2(n+1)-1) = (4n-3)(2n-1) + (16n - 2)
Und jetzt kannst du das ausmultiplizieren und du wirst sehen, dass du links und rechts das gleiche stehen hast.
Damit wäre das bewiesen.
