Zeigen Sie durch vollständige Induktion: Für alle n ∈ \mathbf{N}, n ≥ 3 gilt: \quad 2^{n}+1 ≥ n^{2} .

Question

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Aufgabe 9 (Ungleichungen mit Induktion)
Zeigen Sie durch vollständige Induktion: Für alle \( n \in \mathbf{N}, n \geq 3 \) gilt: \( \quad 2^{n}+1 \geq n^{2} \).
Hinweis: Sie dürfen dazu ohne Beweis verwenden dass \( (n-1)^{2} \geq 3 \) für \( n \geq 3 \).

Aufgabe:

Answer 1

Induktionsschritt: \(2^{n+1}+1>2\cdot2^n\ge2\cdot(n^2-1)-(n-3)(n+1)=(n+1)^2\).

Answer 2

2^(n + 1) + 1 ≥ (n + 1)^2

2·2^n + 1 ≥ n^2 + 2·n + 1

2·2^n + 2 - 1 ≥ n^2 + 2·n + 1

2·(2^n + 1) - 1 ≥ n^2 + 2·n + 1

2·n^2 - 1 ≥ n^2 + 2·n + 1

n^2 - 2·n + 1 ≥ 3

(n - 1)^2 ≥ 3

wzbw.

Answer 3

Hallo :-)

Ich mache mal den Induktionsschritt.

Induktionsvoraussetzung: \(2^n+1\geq n^2\) für ein beliebiges, aber festes \(n\in \N\).

Hinweis: \(n^2-2n+1=(n-1)^2\geq 3\quad \Leftrightarrow \quad -2n\geq 3-n^2-1\) für alle \(n\in \N_{\geq 3}\).

Induktionsschritt:

$$ 2^{n+1}+1=2\cdot 2^n+1=2^n+2^n+1\stackrel{(IV)}{\geq}2^n+n^2=2^n+n^2+2n+1-2n-1\\=2^n+(n+1)^2-2n-1=2^n-1+(n+1)^2-2n\stackrel{(Hinweis)}{\geq} 2^n-1+(n+1)^2+3-n^2-1\\=2^n-n^2+1+(n+1)^2\stackrel{(IV)}{\geq} n^2-n^2+(n+1)^2=(n+1)^2.$$