Mit vollständiger Induktion zeigen: Für alle n ∈ N gilt: 2^{n+1} ≥ n^2 + n + 2

Question 1

Eine sehr e Frage zur Induktion ..

Aufgabe 4. (Induktion) Beweisen Sie: Für alle n ∈ N gilt:

2ⁿ⁺¹ ≥ n² + n + 2

Question 2

Also für $ n=1 $ stimmt die Bhauptung ja, weil $ 2^2=4 \ge 1+1++2=4 $ gilt.
jetzt muss man das für $ n+1 $ zeigen. D.h. man muss zeigen das gilt
$$ 2^{n+1+1} \ge (n+1)^2+(n+1)+2=n^2+2n+1+n+1+2=n^2+3n+4 $$
Wegen der Induktionsannahme gilt aber $ 2^{n+1} \ge n^2+n+2 $
Daraus folgt
$$ 2^{n+2}=2\cdot 2^{n+1} \ge 2\cdot (n^2+n+2)=2n^2+2n+4 $$ und die rechte Seite ist größer als $ n^2+3n+4 $ weil $ n^2 \ge n $ gilt, was zu beweisen war.

ullim · Answer 1 · 2014-10-17T12:53:42+0000

Also für $ n=1 $ stimmt die Bhauptung ja, weil $ 2^2=4 \ge 1+1++2=4 $ gilt.
jetzt muss man das für $ n+1 $ zeigen. D.h. man muss zeigen das gilt
$$ 2^{n+1+1} \ge (n+1)^2+(n+1)+2=n^2+2n+1+n+1+2=n^2+3n+4 $$
Wegen der Induktionsannahme gilt aber $ 2^{n+1} \ge n^2+n+2 $
Daraus folgt
$$ 2^{n+2}=2\cdot 2^{n+1} \ge 2\cdot (n^2+n+2)=2n^2+2n+4 $$ und die rechte Seite ist größer als $ n^2+3n+4 $ weil $ n^2 \ge n $ gilt, was zu beweisen war.

Mit vollständiger Induktion zeigen: Für alle n ∈ N gilt: 2^{n+1} ≥ n^2 + n + 2

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