Aufgabe:
Seien \( a_{1}, \ldots, a_{n} \) reelle Zahlen mit \( a_{i} \geq-1 \) für \( i=1,2, \ldots, n \) und \( a_{i} \cdot a_{j} \geq 0 \) für alle \( i, j=1,2, \ldots, n . \) Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion die Ungleichung
\( \prod \limits_{i=1}^{n}\left(1+a_{i}\right) \geq 1+\sum \limits_{i=1}^{n} a_{i} \)
für alle \( n \in \mathbb{N} \). Welche Ungleichung erhält man für \( a_{1}=a_{2}=\ldots=a_{n} \) bzw. wie heißt diese Ungleichung?
Für jede positive ganze Zahl und jede Menge {a1,....an} nicht negativer reeller Zahlen ( ak>0 für k=1,...,n) Gilt Π ( 1+ak) ≥ 1 + Σ ak. Ist die Behauptung auch für n=0 richtig? Die Menge {a1,....,an} ist dann die Leere Menge.
