Ungleichungen zeigen: n*r^{n-1} ≤ (s^n - r^n)/(s-r) ≤ ns^{n-1}, wobei 0≤r<s

Question

Für die reellen Zahlen \( r \) und \( s \) gelte \( 0 \leq r<s \). Zeigen Sie, dass für alle natürlichen Zahlen \( n \geq 2 \) die Ungleichungen

\( n r^{n-1} \leq \frac{s^{n}-r^{n}}{s-r} \leq n s^{n-1} \)

Hinweis. Zeigen Sie zunächst die Identität

\( s^{n}-r^{n}=(s-r) \sum \limits_{k=0}^{n-1} s^{n-k-1} r^{k} \) für positive ganze Zahlen \( n \) sowie beliebige reelle Zahlen \( r \) und \( s \).

Ansatz:

Habe mich daran versucht und habe das mit Induktion gemacht :

Bei n-> n+1

Habe ich dann versucht die erste Ungleichung zu lösen, komme jedoch nicht drauf...

Meine Ansätze:

(n+1)r^n ≤ (s^n+1 -r^n) / (s-r)

(n+1)r^n *(s-r) ≤ s^{n+1}- r^{n+1}

Answer 1

Beweis der Ungleichung: 

Benutze diesen Hinweis. Teile durch (s-r) und schätze dann im einen Fall r mit s ab und danach im 2. Fall s mit r.

So hast du direkt die Terme links und rechts der Kette mit dem richtigen Ungleichzeichen.

Beweis der Formel im Hinweis:

Mehrere Verfahren möglich:

1. Polynomdivision

2. Rechte Seite ausmultiplizieren.

3. Induktionsbeweis.

Methode 2. ist meist am einfachsten.

Comments

Wenn du machen darfst, was du willst: Nimm Nr. 2 und multipliiere aus

(s-r)*(s^{n-1} + s^{n-2} * r^1 + s^{n-3}*r^2 + ....... + r^{n-1})

= s^n - r*s^{n-1} + s^{n-1}*r - r*s^{n-2}*r + s^{n-2}*r^2 - r*s^{n-3}*r^2 + ......-r^n

= s^n - r^n.    qed. HInweis.

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Ja dann hat man den. Hinweis bewiesen, was bringt das jetzt, wie beweist man die Ungleichung ?

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Setze in der Behauptung die Summe im Hinweis in die Mitte.

n*s^{n-1}  ≤ SUMME ≤ n*r^{n-1}

Und überlege erst, warum das jetzt die ursprüngliche Behauptung ist.

Als Zweites schreibst du die Summe ausgeschrieben hin und berücksichtigst, dass 0<s<r.