Konvergenz für n → ∞untersuchen und Grenzwert angeben.

Question

d_n := ⁿ√n,   n ∈ ℕ.

 

Der Grenzwert ist zwar 1, aber es steht noch folgender Hinweis unter der Aufgabe:

Betrachten Sie bei (d_n) die Folge x_n := d_n - 1 und nutzen Sie den binomichen Lehrsatzt, um aus n = dⁿ_n = (1 + x_n)ⁿ zu folgern, dass (x_n)_n∈ℕ   eine Nullfolge ist.

 

Ich weiß beim besten Willen nicht, wie ich diese Aufgabe lösen soll. Bitte helft mir.

Answer 1

Hier zunächst mal die Lösung wie Wolframalpha es gemacht hätte:

https://docs.google.com/document/d/1R6vutBaFMFxGgMw0Newaej88iG3UwWowtebZ5mn_2Ok/pub

Wenn man einen Grenzwert berechnen soll und dabei in der Basis und im Exponenten eine Unbekannte steht, kann man zunächst exp(ln(...)) auf den Term anwenden um dann den Exponenten als Faktor vor den LN zu ziehen. Dann betrachtet man den Grenzwert im Exponenten von e.

Was den Hinweis angeht weiß ich da auch gerade nicht weiter.

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https://www.wolframalpha.com/input/?i=lim+n->infinity+n%5E%281%2Fn%29