Maximum und Minimumsfunktion

Question

hi

ich soll zeigen das ∀x,y∈ℝ folgendes gilt:

min{x,y} = (1/2) (x + y - |x - y|)

max{x,y} = (1/2) (x + y + |x - y|)


habe da jetzt fallunterscheidungen gemacht:

x = y;        x > y;      x < y

für x = y klappt das, aber für die anderen 2 fälle weiß ich nicht was ich machen soll. ob und wie ich den betrag umschreiben kann


wenn jemand ein paar tipps hat wäre ich sehr dankbar

Answer 1

So ist der Betrag definiert:

| x | = x , falls x ≥ 0

| x | = - x , falls x < 0

Angewendet auf dein Beispiel:

| x - y | = x - y , falls x - y ≥ 0 (also falls x ≥ y )

| x - y | = - ( x - y ) = y - x, falls x - y < 0 (also falls x < y )

Und dann konstruierst du "einfach" die angegebenen Formeln aus den Fällen x ≥ y bzw. x < y

Beispiel:

Fall 2 ) x < y

=> min { x , y } = x

= 0,5 * 2 x

= 0,5 * ( x + y + x - y )

= 0,5 * ( x + y - ( y - x ) )

= 0,5 * ( x + y - | x - y | ) , denn für x < y gilt:  y - x = | x - y |

Comments

hatte das gestern noch so aufgeschrieben aber dachte es wäre blödsinn :D

vielen dank