kritische Punkte einer funktion mit 2 variablem Bestimmen

Question

ich habe eine Funktion f : ℝ²  → ℝ und ich soll all kritischen Punkte Bestimmen.

aber das Problem passiert wenn ich die Nullstellen der Gradienten suche ...erhalte ich unendlich viele Punkte.

z.B.. ∇f=\( \begin{pmatrix} x^3y^2-x\\ y^3x^2-y \end{pmatrix} \) =\( \begin{pmatrix}  0 \\ 0 \end{pmatrix} \)

vom (1):

x³ y² - x = 0 ⇒ x₁ = 0 und x₂  = \( \frac{1}{y} \) und x₃  = \( \frac{-1}{y} \)

Wie kann ich nun die kritischen Punkte Bestimmen ?

Comments

Wie lautet noch deine Funktion?

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\(f(x,y)=\frac{xy}{1+x^2y^2} \)

Answer 1

das ist richtig soweit. Nun setze deine 3 Fälle in die zweite Gleichung ein.

zB x1=0:

Dann bleibt in der zweiten Gleichung

-y1=0

Also (x1,y1)=(0,0) ist das erste Paar.

x2=1/y:

Dann bleibt 0=0, also jeder y Wert erfüllt es.

(x_2,y_2)=(1/y,y)

Dasselbe für den dritten Punkt.