Aloha :)
Kandidaten für Extrema der Funktion$$f(x;y)=3x^2+2xy+3y^2-3x-3y$$finden wir an den Punkten, bei denen der Gradient verschwindet:$$\binom00\stackrel!=\operatorname{grad}f(x;y)=\binom{6x+2y-3}{2x+6y-3}$$Dieses kleine Gleichungssystem wird gelöst durch:\(\quad\left(x_0\big|y_0\right)=\left(\frac38\big|\frac38\right)\).
Wir prüfen nun, mit Hilfe der Hesse-Matrix, ob es sich tatsächlich um ein Extremum handelt und von welcher Art dieses ist:$$H(x;y)=\begin{pmatrix}6 & 2\\2 & 6\end{pmatrix}$$Beide Hauptminoren \(6\) und \(36-4=32\) sind positiv. Also ist die Hesse-Matrix positiv definit. Daher liegt an der Stelle \(\left(x_0\big|y_0\right)=\left(\frac38\big|\frac38\right)\) ein (globales) Minimum vor. Global ist das Minimum deswegen, weil die Hesse-Matrix nicht von \(x\) oder \(y\) abhängt.