Wie berechne ich das Skalarprodukt ohne Koordinaten

Question

Aufgabe: Berechne den Zwischenwinkel von Vektor a und b mit folgenden Beziehungen/

a) Betrag Vektor a = 3; Betrag Vektor b = 4

(Vektor a - 0.5 Vektor b) ⊥ ( Vektor a + Vektor b)

Problem/Ansatz:

Den Winkel berechne ich aus den Skalarprodukt geteilt den Beträgen.

Ich teile also durch 12 in diesem Fall (3*4)

Wie berechne ich das Skalarprodukt?

Ich habe ja die Gleichung (Buchstaben als Vektoren gedacht):

(a - b/2) • ( a+b) = 0

Weitergerechnet komme ich noch auf:

2a^2 + ab - b^2 = 2

Jetzt weiss ich aber nicht mehr weiter.

Answer 1

2\( \vec{a} \) ² + \( \vec{a} \) ·\( \vec{b} \) - \( \vec{b} \) ² = 2

Jetzt weiß ich aber nicht mehr weiter.

setze \( \vec{a} \)²=9 und \( \vec{b} \)²=16.

Dann nach \( \vec{a} \) ·\( \vec{b} \) auflösen und in Winkelformel einsetzen.

Comments

@samsisams: manchmal hilft auch eine Zeichnung

Answer 2

(a - 0,5b) • ( a+b) = 0

a²+ab-0,5ab-0,5b²=0

a²+0,5ab-0,5b²=0

3²+0,5*3*4*cosα-0,5*4²=0

6*cosα+1=0

cosα = -1/6

:-)

PS:

2a^2 + ab - b^2 = 2

Es muss heißen: =0

Comments

Hi, Vielen Dank :)

aber ich hab noch eine Frage: woher kommt der cosα?

Ich weiss schon, dass der aus der Formel für die Winkelberechnung kommen muss, aber müsste man dann nicht schreiben:

Betrag a * Betrag b = a • b * cosα ?

und wenn man die Zahlen ausrechnet kommt man mit 3² + 0.5 * 3 * 4 doch nicht auf 6 sondern auf 9 + 6, oder?

Auch bei 0.5 * 12 kommt man auf 8?

Sorry, ich bin gerade verwirrt :/

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Hallo,

das Skalarprodukt ist so definiert:

$$\vec a \vec b=|\vec a|\cdot|\vec b|\cdot \cos\alpha$$

3²+0,5*3*4*cosα-0,5*4²=0

(3²-0,5*4²)+(0,5*3*4*cosα)=0

Punktrechnung vor Strichrechnung!

Die Klammern habe ich gesetzt, damit du siehst, was zuerst gerechnet werden muss.

:-)

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Herzlichen Dank :3