kritische punkte und lokal

Question

Aufgabe:

Gegeben sei die Funktion f(x, y) = 3x^2 + 2xy + 3y^2 − 3x − 3y. bestimmen Sie dann den kritischen Punkt dieser Funktion. Geben Sie dann an, ob es sich
dabei um ein lokales Maximum, ein lokales Minimum oder einen Sattelpunkt handelt.

Answer 1

Wobei hast du konkret Probleme? Beim Bilden der Partiellen Ableitungen oder beim Lösen des entstehenden Gleichungssystems, wenn du die Ableitungen gleich null setzt?

Answer 2

Aloha :)

Kandidaten für Extrema der Funktion$$f(x;y)=3x^2+2xy+3y^2-3x-3y$$finden wir an den Punkten, bei denen der Gradient verschwindet:$$\binom00\stackrel!=\operatorname{grad}f(x;y)=\binom{6x+2y-3}{2x+6y-3}$$Dieses kleine Gleichungssystem wird gelöst durch:\(\quad\left(x_0\big|y_0\right)=\left(\frac38\big|\frac38\right)\).

Wir prüfen nun, mit Hilfe der Hesse-Matrix, ob es sich tatsächlich um ein Extremum handelt und von welcher Art dieses ist:$$H(x;y)=\begin{pmatrix}6 & 2\\2 & 6\end{pmatrix}$$Beide Hauptminoren \(6\) und \(36-4=32\) sind positiv. Also ist die Hesse-Matrix positiv definit. Daher liegt an der Stelle \(\left(x_0\big|y_0\right)=\left(\frac38\big|\frac38\right)\) ein (globales) Minimum vor. Global ist das Minimum deswegen, weil die Hesse-Matrix nicht von \(x\) oder \(y\) abhängt.