Exponentialgleichung mit Logarithmieren lösen: 3^{x-1} · 2^{2x} = 5^{3x+1}

Question

Aufgabe:

Exponentialgleichung mit Logarithmieren lösen: 3^{x-1} · 2^{2x} = 5^{3x+1}

Problem/Ansatz:

Ich habe ähnliche Aufgabe im Internet gesucht, trotzdem sind die meisten auf diese Aufgaben nicht logarithmiert.

3^x * 3^{-1} · 2^{2x} = 5^{3x} · 5^1

3^x * 2^{2x} = 5^{3x} · 15

Ich hoffe, dass ich es bis hier richtig gemacht habe, aber wie es dann weitergeht, habe ich nicht verstanden.

Ich wäre sehr dankbar über eine ausführliche Antwort!

Answer 1

Warum logarithmierst du nicht einfach mal selber?

3^(x-1) * 2^ (2x) = 5^ (3x+1)       | ln

ln ( 3^(x-1) * 2^ (2x) ) = ln( 5^ (3x+1) )

und nun weiter mit Logarithmengesetzen. Ein paar Schritte bekommst du bestimmt hin.

Comments

Vielen Dank für die Antwort,ich habe so gemacht:

ln(3^(x-1) * 2^2x) =ln 5^(3x+1)

Und habe eine Frage,wie geht diese Aufgabe dann

Ist 3^(x-1) * 2^2x multiplizieren miteinander ( 6^2x(x-1) oder das ist nicht möglich ?

Vielen Dank im Voraus !

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ln(3^(x-1) * 2^2x) =ln 5^(3x+1)

Und habe eine Frage,wie geht diese Aufgabe dann

Ist 3^(x-1) * 2^2x multiplizieren miteinander ( 6^2x(x-1) oder das ist nicht möglich ?

Nein.

Da du unbedingt logarithmieren wolltest, musst du mit den Logarithmegesetzen weiterarbeiten. Du darfst nicht einfach innerhalb des Logarithmus neue Potenzgesetze erfinden.

Welches Logarithmengesetz kennst du denn?

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3^(x-1) * 2^ (2x) = 5^ (3x+1) 

Dein Anfang mit Hilfe von Potenzgesetzen war richtig. Du hast einfach nicht logarithmiert.

3^x * 3^(-1) * 2^ (2x) = 5^ (3x) * 5^1

3^x * 2^ (2x) = 5^ (3x) * 15

3^x * 4^x = 125^x * 15   

12^x = 125^x * 15

12^x / 125^x = 15

(12/125)^x = 15        | logarithmieren

ln((12/125)^x) = ln(15)

x ln(12/125) = ln(15)

x = ln(15)/ ln (12/125)

x ≈ -1.155604

Kontrolle:

[spoiler]

https://www.wolframalpha.com/input/?i=3%5E(x-1)+*+2%5E+(2x)+%3D+5%5E+(3x%2B1)

Das ist dasselbe.

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[spoiler]

ln ( 3^(x-1) * 2^ (2x) ) = ln( 5^ (3x+1) )

ln ( 3^(x-1)) + ln( 2^ (2x) ) = ln( 5^ (3x+1) )

(x-1) * (ln ( 3))  + 2x *  ln( 2 ) = (3x+1) ln( 5 )

x * ln(3) - ln(3) + 2x * ln(2) = 3x ln(5) + ln(5)

x * ln(3)  + 2x * ln(2) - 3x ln(5) = ln(3) + ln(5)

x *( ln(3)  + 2 * ln(2) - 3 ln(5)) = ln(3) + ln(5)

x  =( ln(3) + ln(5) ) / ( ln(3)  + 2 * ln(2) - 3 ln(5)) 

Kontrolle: (Logarithmengesetze)

https://www.wolframalpha.com/input/?i=(+ln(3)+%2B+ln(5)+)+%2F+(+ln(3)++%2B+2+*+ln(2)+-+3+ln(5))

Somit wieder dasselbe Resultat.

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Vielen Dank !!!