Dein IVP ist
\( x' = f(t,x),~ x(0) = 1 \), wobei \(f(t,x) = 2t - x\).
Die exakte Lösung davon ist \( x(t) = 3e^{-t} + 2t - 2\).
a) Explizites Eulerverfahren. Die Schrittweite ist \( h = 1 \). Wir starten bei \( t_0 = 0, x_0 := x(t_0) = 1 \) und wollen die Lösung \( x_1 := x(t_1) \) in \( t_1 := t_0 + h = 1\) approximieren. Die Rechenvorschrift beim expliziten Eulerverfahren ist:
$$ x_1 = x_0 + h\cdot f(t_0,x_0) = 1 + 1 \cdot (2\cdot0 - 1) = 0 $$
Das klassische Runge Kutta Verfahren ist ein 4-stufiges RK-Verfahren. Das Butcher-Tableau findest du eigentlich überall. Die Rechenvorschrift kannst du daraus dann ablesen:
$$ x_1 = x_0 + h \cdot \left( \frac{1}{6}k_1 + \frac{1}{3}k_2 + \frac{1}{3}k_3+ \frac{1}{6}k_4 \right) $$
wobei:
$$ k_1 = f(t_0,x_0) = f(0,1) = 2\cdot 0 - 1 = -1 \\ k_2 = f\left(t_0 + \frac{h}{2}, x_0 + \frac{h}{2}k_1\right)=f(0.5,0.5) = 0.5\\k_3 = f\left(t_0 + \frac{h}{2}, x_0 + \frac{h}{2}k_2\right)=f(0.5,1.25) = -0.25\\k_4 = f(t_0 + h,x_0+h\cdot k_3) = f(1, 0.25) = 1.75 $$
also
$$ x_1 = 1.208\overline{3} $$
Überprüfe das aber besser nochmal selbst. Vielleicht habe ich mich irgendwo verrechnet...
b) Die exakte Lösung ist
$$ x(1) = 3e^{-1}+2-2 = \frac{3}{e} \approx 1.1036 $$
Wie du siehst ist das klassische RK-Verfahren näher dran.
