Konvergenzradius einer Doppelsumme bestimmen?

Question

ich soll den Konvergenzradius von \(\sum_{n=1}^{\infty}{\left(\sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{k}}\right)}z^n\) bestimmen. Ich komme mit der Notation nicht wirklich klar, kann man das irgendwie vereinfachen, damit es etwas konventioneller aussieht?

Kann man hier irgendwas mit dem Cauchy-Produkt anstellen?

Comments

Kennst du Abschätzungen nach unten und oben bei Teilsummen der harmonischen Reihe ? Welche?

Kann man hier irgendwas mit dem Cauchy-Produkt anstellen?

Dazu habe ich keine Idee.

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Ich kenne die mit \(\log n\), aber das wurde noch nicht in der Vorlesung behandelt.

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Ich habe nun auch mal den Tag Cauchy ergänzt. Klick darauf ergibt: https://www.mathelounge.de/tag/cauchy Da erinnert nicht viel an diese Aufgabe. Du kannst ja selbst mal durchschauen.

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Es geht um https://de.wikipedia.org/wiki/Cauchy-Produktformel

(GLAUBE ICH!)

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Hier auch schon mal eine längere Diskussion. https://www.mathelounge.de/400790/zeigen-dass-reihe-konvergiert-aber-cauchy-produkt-divergiert Aber dein LInk ist vielleicht schlauer.

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Das war auch nur eine Vermutung, vielleicht völlig falsch.

Answer 1

Kann man nicht einfach \(\displaystyle r=\lim_{n\to\infty}\left\vert\frac{a_n}{a_{n+1}}\right\vert=\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac1{(n+1)a_{n+1}}\right)=1\) mit \(\displaystyle a_n=\sum_{k=1}^n\frac1k\) rechnen?

Comments

Muss \(a_n\) nicht eine Folge sein...? Oder rechne ich mit der Partialsummenformel \(\displaystyle a_n=\sum_{k=1}^n\frac1k=\frac n{k}\)

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\(a_n\) ist eine Folge: \(1,\frac32,\frac{11}6,\frac{25}{12},\frac{137}{60},\frac{49}{20},\dots\).
\(\frac nk\) macht in diesem Zusammenhang keinen Sinn. \(k\) ist die Laufvariable.

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Und das hilft inwiefern? Das ist noch nichts greifbares für mich. Ich korrigiere: \(\displaystyle a_n=\sum_{k=2}^n\frac1k=H_n-1\)

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Vielleicht ist es rekursiv leichter: \(a_{n+1}=a_n+\frac1{n+1}\).

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Guter Tipp, ich habe es mit Cauchy-Hadamard gemacht:$$r=\lim\limits_{n\to\infty} \frac{|a_n|}{|a_{n+1}|} = \lim\limits_{n\to\infty} \frac{\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}}{\sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{k}} = \lim\limits_{n\to\infty} \frac{\sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{k} - \frac{1}{n+1}}{\sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{k}} = \lim\limits_{n\to\infty} 1 -\frac{1}{(n+1)\sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{k}} = 1$$