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Bild der Abbildung bestimmen
Um das Bild der Abbildung in beiden Fällen zu bestimmen, betrachten wir die Funktionen und lösen sie nach der Variablen auf.
Fall (i): M = N = R, \(f(x) = x^2 + ax\)
Um das Bild von \(f\) zu bestimmen, suchen wir die Werte \(b\), für die es mindestens ein \(x \in \mathbb{R}\) gibt, so dass \(f(x) = b\). Das bedeutet, wir lösen die Gleichung
\(x^2 + ax - b = 0\)
nach \(x\) auf. Dies ist eine quadratische Gleichung, deren Lösungen durch die Formel
\(x = \frac{-a \pm \sqrt{a^2 - 4(-b)}}{2}\)
gegeben sind.
Die Diskriminante dieser Gleichung ist \(D = a^2 + 4b\). Für reelle Lösungen muss \(D \geq 0\) sein, also
\(a^2 + 4b \geq 0\)
Diese Ungleichung ist für alle \(b\) erfüllt, wenn \(b\) größer oder gleich \(-\frac{a^2}{4}\) ist. Daher ist das Bild der Funktion \(f\) gegeben durch
\(\{b \in \mathbb{R} \,|\, b \geq -\frac{a^2}{4}\}\)
Urbildmenge von b unter f im Fall (i):
Für ein gegebenes \(b\) im Bild von \(f\), also für \(b \geq -\frac{a^2}{4}\), ist die Urbildmenge von \(b\) unter \(f\) die Menge der \(x\), die die Gleichung \(x^2 + ax = b\) lösen. Diese Lösungen haben wir bereits oben gefunden:
\(x = \frac{-a \pm \sqrt{a^2 + 4b}}{2}\)
Fall (ii): M = N = C, \(f(z) = z^2 + az\)
Für den Komplexen Fall ist die Betrachtung ähnlich, da die Form der Funktion dieselbe bleibt. Der Hauptunterschied besteht darin, dass wir jetzt \(z \in \mathbb{C}\) betrachten und die Gleichung \(z^2 + az = b\) lösen.
Da jedoch im Komplexen Bereich die Lösungen nicht von der Diskriminante abhängen (im Gegensatz zum reellen Fall, da für komplexe Zahlen \(x\) jede Quadratwurzel definiert ist), können wir jedes beliebige \(b \in \mathbb{C}\) erreichen. Das bedeutet, das Bild von \(f\) im komplexen Fall ist einfach ganz \(\mathbb{C}\).
Urbildmenge von b unter f im Fall (ii):
Auch hier, für ein gegebenes \(b \in \mathbb{C}\), ist die Urbildmenge von \(b\) unter \(f\) die Menge der \(z\), die die Gleichung \(z^2 + az = b\) lösen. Die Lösungen sind gegeben durch
\(z = \frac{-a \pm \sqrt{a^2 + 4b}}{2}\)
Hier berücksichtigen wir, dass die Quadratwurzel im Komplexen definiert ist für alle \(b \in \mathbb{C}\), was die Lösung für jedes \(b\) ermöglicht.
