Ist (ab) eine Quadratzahl nur dann wenn a und b Quadratzahlen sind?

Question

(ab)²=a²b²

 

6² = 4*9 = 2²_*3² =(2_*3)²

 

6*24 = 144 = 2*6*2*6=2²_*6²=12²

Answer 1

"6² = 4*9 = 2²_*3² =(2_*3)²

6*24 = 144 = 2*6*2*6=2²_*6²=12²".

gut beobachtet.

MfG

Mister

Comments

3*48 = 144  => a=3 und b=48 das sind keine Quadratzahlen


144 = 2*2*2*2*3*3 = (2*2*3)(2*2*3)


Satz: Jede Quadratzahl hat immer eine Gerade Anzahl von gleichen oder verschiedenen Primfaktoren


Beweis: n hat die  Primfaktorzerlegung A  mit p Primfaktoren dann hat A² mit 2*p Primfaktoren genau doppelt soviel.


Jeder Primfaktor von A   kommt in  A² zweimal vor, ergo wird jeder Primfaktor in A² quadriert und da es immer einer gerade Zahl von Primfaktoren sind, kann ich in 2 Faktoren klammern die sich nur aus Quadrierten Primzahlfaktoren zusammensetzen.

q.e.d.

Bsp.:


A = abcd => A²= abcdabcd = a²b²c²d²=(ab)²(cd)²

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Ach ja 1 ist Primzahl und Quadratzahl hier.


Denn n sei Primzahl p  => Primfakktorzerlegung = 1*p


=> p² = p*1*p*1 = p²1²


Satz: Jede Quadratzahl lässt sich als Produkt zweier Quadratzahlen schreiben

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1 ist p.D. keine Primzahl. "Eine Primzahl hat genau 2 verschiedene Teiler."