Asymptote von Funktionen bestimmen

Question

ich muss von zwei Funktionen die Asymptoten bestimmen. Ich weiß wie man vorgeht ABER ich suche nach einer einfachen Variante die auch einfach zu verstehen ist!

Die Funktionen: 1) (2x^2+4x-6) / (x^2+x-2)

                           2) (x^3+x^2-9x-9) / (x^2+6x+5)

-Zuvor musste ich die NST, hebbaren Unstetigkeiten, Polstellen bestimmen und die Grenzwerte der Funktion. Die habe ich schon. die Asymptote bestimmt man indem man die Polynomdivision anwendet: Zähler durch Nenner. Oder?

Ach ja auf plotlux sehe ich die Funktion muss aber die asymptote schriftlich bestimmen.

für jede Hilfe :)

Answer 1

1) (2x^2+4x-6) / (x^2+x-2)

Vertikale Asymptoten an den Nullstellen des Nenners, die nicht Nullstellen des Zählers sind.

2·x^2 + 4·x - 6 = 0 --> x = -3 ∨ x = 1

x^2+x-2 = 0 --> x = -2 ∨ x = 1

vertikale Asymptote also bei x = -2

Ist der Grad vom Zähler- und Nennerpolynom gleich teilst du den Leitkoeffizienten des Zählers durch den Leitkoeffizienten des Nenners. Das ist deine horizontale Asymptote

y = 2/1 = 2

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2) (x^3+x^2-9x-9) / (x^2+6x+5)

Vertikale Asymptoten an den Nullstellen des Nenners, die nicht Nullstellen des Zählers sind.

x^3+x^2-9x-9 = 0 --> x = -3 ∨ x = 3 ∨ x = -1

x^2+6x+5 = 0 --> x = -5 ∨ x = -1

vertikale Asymptote bei x = -5

Ist der Grad vom Zählerpolinom um 1 größer als der Grad des Nennerpolynoms hat man eine schräge Asyptote. Die kannst du herausbekommen in dem Du eine Polynomdivision machst.

x^3  +  x^2  -  9x  -  9) : (x^2 + 6x + 5)  =  x - 5  Rest  16x + 16 
x^3  + 6x^2  +  5x     
————————————————————————
      - 5x^2  - 14x  -  9
      - 5x^2  - 30x  - 25
      ———————————————————
                16x  + 16

Schräge Asymptote ist also: y = x - 5

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@Mathecoach. Du hast in beiden Fällen eine hebbare Definitionslücke übersehen.

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Ich hatte noch bemerkt das der Fragesteller die hebbare Lücke noch nicht gekürzt hatte. Das war bei uns immer der erste Schritt. Sollte aber inzwischen behoben sein.

Answer 2

Zuallerst zerlege Zähler und Nenner in Linearfaktoren, um hebbare Definitionslücken zu bestimmen:

1) (2x²+4x-6) / (x²+x-2) =(2(x-1)(x+3))/((x-1)(x+2))=2(x+3)/(x+2). Dann ist x=1 hebbare Definitionslücke und eine Asymptote ist die Senkrechte an der Polstelle x=-2. Da Zähler und Nenner den gleichen Grad haben, ist y=2 ebenfalls Asymptote.

2) (x³+x²-9x-9) / (x²+6x+5) =((x+1)(x+3)(x-3))/((x+1)(x+5))=(x²-9)/(x+5). Dann ist x= - 1 hebbare Definitionslücke und eine Asymptote ist die Senkrechte an der Polstelle x=-5. Da Zählergrad um eins größer als Nennergrad, ist y=x ebenfalls Asymptote.

Comments

Da Zählergrad um eins größer als Nennergrad, ist y=x ebenfalls Asymptote.

Das wäre schön. Aber meist ist das nicht so einfach.

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Gut; ich hätte noch die Koeffzientengleichheit erwähnen sollen.

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Siehe auch:

~plot~ (x^3+x^2-9x-9)/(x^2+6x+5);x-5;[[-15|5|-30|10]] ~plot~

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Irren ist menschlich - wie du weißt.

Answer 3

Aloha :)

Solche Aufgaben sind meistens so gebaut, dass man Zähler und Nenner leicht in Faktoren zerlegen kann. Für quadratische Polynome gilt nämlich \((x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab\). Die Summe der beiden Zahlen \(a\) und \(b\) findest du vor dem \(x\) wieder und das Produkt der beiden Zahlen \(a\) und \(b\) steht ohne \(x\) da. In deiner Aufgabe hast du direkt 3 von solchen quadratischen Polynomen:

\(2x^2+4x-6=2(x^2+2x-3)\)

Die 2 muss ausgeklammert werden, damit das \(x^2\) alleine da steht. Jetzt suchen wir 2 Zahlen, deren Summe \(2\) und deren Produkt \(-3\) ist. Das klappt für \(3\) und \(-1\), also ist

\(2x^2+4x-6=2(x^2+2x-3)=2(x+3)(x-1)\)

\(x^2+x-2\)

Jetzt suchen wir 2 Zahlen mit Summe \(1\) und Produkt \(-2\). Das klappt für \(2\) und \(-1\), also ist

\(x^2+x-2=(x+2)(x-1)\)

\(x^2+6x+5\)

Jetzt suchen wir 2 Zahlen mit Summe \(6\) und Produkt \(5\). Das klappt für \(5\) und \(1\), also ist

\(x^2+6x+5=(x+5)(x+1)\)

Bei Polynomen mit \(x^3\) oder höher, musst du eine Lösung erraten. Aber auch hier gibt es einen Trick. Wenn es eine ganze Zahl als Lösung gibt, ist die Zahl ohne jedes \(x\) durch diese Zahl teilbar. Schauen wir uns das an deiner Aufgabe an.

\(x^3+x^2-9x-9\)

Die \(-9\) am Ende kann man durch \(\pm1\), durch \(\pm3\) und durch \(\pm9\) ohne Rest teilen. Also sind das die Top-Kandidaten für ein Nullstelle. Wenn du sie einsetzt, siehst du, dass für \(x=3\) das Polynom \(0\) wird. Also muss das Polynom einen Faktor \((x-3)\) enthalten, der für \(x=3\) zu \(0\) wird. Also kannst du durch \((x-3)\) dividieren und erhältst:

\(x^3+x^2-9x-9=(x-3)\cdot(x^2+4x+3)\)

Da du ja jetzt schon Übung hast, erkennst du sofort, dass \(3+1=4\) und \(3\cdot1=3\) ist, sodass du das quadratische Polynom sofort weiter zerlegen kannst:

\(x^3+x^2-9x-9=(x-3)(x+3)(x+1)\)

Damit kannst du deine beiden Funktionen stark vereinfachen:$$f_1(x)=\frac{2x^2+4x-6}{x^2+x-2}=\frac{2(x+3)(x-1)}{(x+2)(x-1)}=\frac{2(x+3)}{x+2}=\frac{2x+6}{x+2}=\frac{(2x+4)+2}{x+2}=2+\frac{2}{x+2}$$

$$f_2(x)=\frac{x^3+x^2-9x-9}{x^2+6x+5}=\frac{(x-3)(x+3)(x+1)}{(x+5)(x+1)}=\frac{(x-3)(x+3)}{x+5}=\frac{x^2-9}{x+5}=\frac{(x^2-25)+16}{x+5}=\frac{(x-5)(x+5)+16}{x+5}=x-5+\frac{16}{x+5}$$Daraus kannst du die Asymptoten nun leicht ablesen.