Ermitteln Sie die allgemeine Lösung für 3y''(t) + 9y(t) = 0

Question

Aufgabe:

Ermitteln Sie die allgemeine Lösung für 3y‘‘(t) + 9y(t) = 0

Problem/Ansatz:

Als erstes habe um die PQ-Formel anzuwenden die Gleichung durch 3 geteilt:

y‘‘(t) + 9y(t) = 0

Diese dann durch PQ-Formel gelöst:

$$ \frac{-3}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^{2} - 0}  $$

$$ \frac{-3}{2} \pm \sqrt{\frac{9}{4}}  $$

$$ \frac{-3}{2} \pm \frac{3}{2}  $$

$$ y_1 = 0 $$

$$ y_2 = -3 $$

Anschließend habe ich es wie folgt eingesetzt:

$$ y(t) = c_1e^{y_1x} + c_2e^{y_2x} $$

$$ y(t) = c_1e^{0x} + c_2e^{-3x} $$

$$ y(t) = c_1 + c_2e^{-3x} $$

In meiner Lösungsskizze steht völlig was anderes als Lösung:

$$ Lösung: y(t) = c_1e^{-i\sqrt{3}t} + c_2e^{i\sqrt{3}t} $$

Wo mache ich hier was falsch? Wieso ist die Lösung in der Lösungsskizze eine komplexe Zahl?

Comments

Ich glaube ich habe einfach übersehen, dass es 9y(t) ist und habe es behandelt als wäre es 9y'(t)...

Answer 1

3y''(t) + 9y(t) = 0
y''(t) + 3y(t) = 0

charakteristisches Polynom

x^2+3=0

x1 = \( \sqrt{3} \) * i
x2 = - \( \sqrt{3} \) * i

Für komplexe Wurzeln a - ib, a + ib gilt die Lösung

y(t) = \( e^{a·t} \) * ( c1 * cos(b*t) + c2 * sin (b*t) )

und wegen \( e^{a·t} \) = 1

y(t) = c1 * cos( \( \sqrt{3} \)  * t) + c2 * sin ( \( \sqrt{3} \) * t)