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Aufgabe:

Ermitteln Sie die allgemeine Lösung für 3y‘‘(t) + 9y(t) = 0


Problem/Ansatz:

Als erstes habe um die PQ-Formel anzuwenden die Gleichung durch 3 geteilt:

y‘‘(t) + 9y(t) = 0


Diese dann durch PQ-Formel gelöst:

$$ \frac{-3}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^{2} - 0}  $$

$$ \frac{-3}{2} \pm \sqrt{\frac{9}{4}}  $$

$$ \frac{-3}{2} \pm \frac{3}{2}  $$


$$ y_1 = 0 $$

$$ y_2 = -3 $$


Anschließend habe ich es wie folgt eingesetzt:

$$ y(t) = c_1e^{y_1x} + c_2e^{y_2x} $$

$$ y(t) = c_1e^{0x} + c_2e^{-3x} $$

$$ y(t) = c_1 + c_2e^{-3x} $$



In meiner Lösungsskizze steht völlig was anderes als Lösung:

$$ Lösung: y(t) = c_1e^{-i\sqrt{3}t} + c_2e^{i\sqrt{3}t} $$


Wo mache ich hier was falsch? Wieso ist die Lösung in der Lösungsskizze eine komplexe Zahl?

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Ich glaube ich habe einfach übersehen, dass es 9y(t) ist und habe es behandelt als wäre es 9y'(t)...

1 Antwort

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3y''(t) + 9y(t) = 0
y''(t) + 3y(t) = 0

charakteristisches Polynom

x^2+3=0

x1 = \( \sqrt{3} \) * i
x2 = - \( \sqrt{3} \) * i

Für komplexe Wurzeln a - ib, a + ib gilt die Lösung

y(t) = \( e^{a·t} \) * ( c1 * cos(b*t) + c2 * sin (b*t) )

und wegen \( e^{a·t} \) = 1

y(t) = c1 * cos( \( \sqrt{3} \)  * t) + c2 * sin ( \( \sqrt{3} \) * t)

Avatar von 3,4 k

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