allgemeine Lösung der Differentialgleichung: y''+4y'+3y=6e^(-x)

Question

Aufgabe:

Bestimme die allgemeine Lösung der Differentialgleichung. y''+4y'+3y=6e^(-x)

Problem/Ansatz:Ich habe leider keine Idee wie ich vorgehen muss.

Vielen Dank im voraus.

Answer 1

Hallo,

Ansatz: y=e^(k x) , 2 Mal ableiten und in die DGL einsetzen.

----->charakteristische Gleichung:

k^2+4k +3=0

k_1,2= -2 ±√(4-3)

k₁= -1

k₂= -3

->yh= C₁ e^(-3x) +C₂ e^(-x)

Ansatz yp:

yp=Ax e^(-x) (Resonanz!)

->yp 2 Mal ableiten , in die DGL einsetzen, Koeffizientenvergleich:

yp=3x e^(-x)

y=yh +yp

\( y(x)=c_{1} e^{-3 x}+c_{2} e^{-x}+3 e^{-x} x \)