Bestimme die allgemeine Lösung der Differentialgleichung: y'(x)=(2x)/(1+x^2)*y(x)

Question

Aufgabe:

Bestimme die allgemeine Lösung der Differentialgleichung:

y'(x)=(2x)/(1+x^2)*y(x)

Problem/Ansatz:

Mich verwirren die y'(x) und y(x), so daß ich keinen Ansatz hinbekommen?

Vielen Dank im voraus

Answer 1

Hallo,

y'(x)=(2x)/(1+x^2)*y(x) --------->Lösung via Trennung der Variablen

y'= dy/dx

->

dy/dx=  (2x)/(1+x2)*y(x) |*dx :y

∫dy/y= ∫2x/(1+x^2) dx

ln|y|= ln(x^2+1) +C | e hoch

|y|= e^(ln(x^2+1) +C)= e^(ln(x^2+1)  *e^C =(x^2+1)  *e^C

y= (x^2+1)  * ± e^C ----------> ± e^C =C₁

Lösung:

\( y(x)=C_{1}\left(x^{2}+1\right) \)