Aufgabe:
Seien die Stützpunkte (x0, y0) = (−1,3), (x1, y1) = (1,3),(x2, y2) = (3,5) und (x3, y3) = (5,1) gegeben. Berechne die Parameter c0, . . . , c3 der DarstelungP(x) = c0+c1(x−x0) +c2(x−x0)(x−x1) +. . .im Newton-Algorithmus
a) Finde weiteres Polynom, das die Stützpunkte nterpoliert.
b) Gibt es nur endlich viele Polynome, welche die Stützpunkte interpolieren?
Problem/Ansatz:
y0 = a0
y1 = a0 + a1 (x1 - x0)
y2 = a0 + a1 (x2 - x0) + a2 (x2 - x0) (x2 - x1)
y3 = a0 + a1 (x3 - x0) + a2 (x3 - x0) (x3 - x1) + a3 (x3 - x0) (x3 - x1) (x3 - x2)
P (x) = c0 + c1 (x - x0) + c2 (x - x0) (x - x1) + c3 (x - x0) (x - x1) (x - x2)
3 = y0 = P (x0) = c0
=> c0 = 3
3 = y1 = P (x1) = c0 + c1 (x1 - x0)
3= 3 + c1 (1 - (-1))
3= 3 + c1 * 2
0 = 2 c1
=> c1 = 0
5 = y2 = P (x2) = c0 + c1 (x2 - x0) + c2 (x2 - x0) * (x2 - x1)
5 = 3 + 0* (3 - (-1) + c2 (3 - (-1)) * (3 - 1)
5 = 3 + c2 * 8
2 = 8 c2
1/4 = c2
1 = y3 = P(x3) = c0 + c1 (x3 - x0) + c2 (x3 - x0) (x3 - x1) + c3 (x3 - x0) (x3 - x1) (x3 - x2)
2 = y3 = P (x3) + 3 + 0 * (5 - (-1) + 1/4 * (5 - (-1)) (5 - 1) + c3 (5 - (-1)) (5 - 1) (5-3)
1 = 3 + 0 + 6 * c3 * 48
-8 = 48 c3
-1/6 = c3
=> P (x) = 3 + 0 * (x + 1) + 1/4 (x + 1) (x - 1) - 1/6 (x + 1) (x - 1) (x - 3)
= 3 + 1/4 (x² - 1) - 1/6 (x² - 1) (x - 3)
= 3 + 1/4 (x² - 1) - 1/6 (x³ - 3x² - x +3)
Okay, warum dreht Marcy wieder am Rad? Ich verstehe nicht, wieso in der Aufgabe steht, dass man ein weiteres Polynom, dass mit densselben Stützstellen interpoliert wird, finden soll. Die Lösung vom Newton-Verfahren ist doch eindeutig. Ist hier nach dem Interpolationsfehler gefragt? Ich verstehe es nicht. :(
