Zeigen Sie, dass es sich bei S(x) um einen kubischen Spline zur Stützstellen \Delta im intervall [0,2] handelt.

Question

Hallo, ich brauche eure Hilfe bei Teil c. Teil a und b habe ich geschafft aber ich verstehe Teil c nicht. Kann mir jemand bitte weiter helfen?

Text erkannt:

Autgabe 2 [splines]
Gegeben seien \( x_{0}=0, x_{1}=1, x_{2}=2 \) und damit die zugehörige stürzstellent \( \Delta\left\{x_{0}, x_{1}, x_{2}\right\}=\{0,1,2\} \) sowie die Funktion \( S(x)=\left\{\begin{array}{ll}-x^{3}+3 x & 0 \leqslant x \leqslant \\ (x-2)^{3}-3(x-2) & 1 \leqslant x \leqslant\end{array}\right. \)
a) Zeigen Sie, daess es sich bei \( S(x) \) um einen kubischen Spline zur Stützstellen \( \Delta \) im intervall \( [0,2] \) handelt.
verteing
b) Gegeben \( S e \) die Funktion \( f(x)=\frac{x^{3}-7 x^{2}+10 x}{2} \). Zeigen Sie, dass \( S(x) \) die Funktion \( f \) zu der Stützstellenverteilung \( \Delta \) interpdiert.

Z) Zeigen sie auperdem, dass \( S(x) \) am linken Rand \( x_{0} \) die natürliche Randbedinguy der Spline-Interpolation erfültt Sowie am rechten Rand \( x_{2}=2 \) die ollständiger der spline-Interpolation erfüllt.
Ravlbedingury

Comments

In der Frage steht: 0 <= x <= 1 und 1<= x <= 2

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Da ist doch gar keine Frage. Nur ne Aufgabe. Was ist also konkret Deine Frage, Dein Problem? Wie weit bist Du gekommen?

Answer 1

Sei s ein interpolierender kubischer Spline zu der Funktion f an den Knoten
x₀ < · · · < x_n+1   und y eine beliebige zu interpolierende Funktion f

(i) s′(x₀) = f ′(x₀) und s′(x_n+1) = f ′(x_n+1) (vollständige Randbedingung)
(ii) s′′(x₀) = s′′(x_n+1) = 0 (natürliche Randbedingung)

Also Ränder einsetzen und Bedingungen überprüfen...

Alles klar?

Comments

Also ich habe es so verstanden: linker Rand braucht 2. Ableitung =0 und rechter Rand braucht 1. Ableitung = 1.

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Nicht ganz...

\(  s_{1}''\left(0 \right) ==  0,\\ f'\left(2 \right) ==s_{2}'\left(2 \right)  \to -3==-3 \)

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Aber wenn ich die s′(x0) = f ′(x0) berechne, kommt nicht gleiche Ergebnis raus!  s′(0) = 3 und f'(0) = 0

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Es hat mich bisschen verwirrt ;D

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Was denn?

links 2. Ableitung - rechts Steigung

\(s_1''(x)=-6 \; x\\f'(x)=\frac{1}{2} \; \left(3 \; x^{2} - 14 \; x + 10 \right)\\s_2'(x)=3 \; x^{2} - 12 \; x + 9\)

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Ach alles gut. Ich habe es verstanden danke dir. Wenn noch frage vorkommt, frage ich dir :)

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Dann ist ja gut, fröhliches schaffen noch...

Wirf ggf. mal einen Blick auf

https://www.geogebra.org/m/BpqJ28eP#chapter/446699

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Kurze Frage:

Ich soll für x in S₁'' (x) eine 0 einsetzen, für f'(x) auch eine 0 und für S₂' eine 2 einsetzen oder wie genau?

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so, wie bei dem kommentar

>nicht ganz...<

beschrieben:

am linken rand x₀=0 und am rechten rand x₂=2