Berechnen Sie das Interpolationspolynom zu den Stützstellen und Funktionswerten

Question

Aufgabe:

Hallo, kann einer bei dieser Aufgabe helfen? wäre echt nett.
Vielen Dank

Text erkannt:

Aufgabe 45 (8+2 Punkte). Berechnen Sie das Interpolationspolynom zu den Stützstellen und Funktionswerten
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline\( x \) & \( -2 \) & 2 & 0 & \( -4 \) \\
\hline\( f(x) \) & 4 & 8 & 10 & \( -10 \) \\
\hline
\end{tabular}
in der Newton-Darstellung, d.h. bestimmen Sie für die Darstellung
\( p_{n}(x)=\sum \limits_{j=0}^{n}\left(\left[x_{0}, \ldots, x_{j}\right] f\right) w_{j}(x) \)
die Koeffizienten \( \left[x_{0}, \ldots, x_{j}\right] f, j=0, \ldots, n \), und die Polynome \( w_{j}(x) \). Werten Sie das Interpolationspolynom für \( x=4 \) und \( x=7 \) aus.

Answer 1

Hallo,

Willkomen in der Mathelounge.

kann einer bei dieser Aufgabe helfen?

steht doch alles bei Wikipedia. Wäre gut zu wissen, wo genau Du ein Problem hast.

Die Interpolationspolynome \(w_j\) nach Newton ergeben sich aus den Stützstellen$$x_j := \{-2,2,0,-4\} \\ w_0(x)  =1 \\ w_1(x) = w_0(x) (x-(-2)) \\ w_2(x) = w_1(x)(x-2) \\ w_3(x)= w_2(x)(x-0)$$und für die Berechnung der Koeffizienten \(c_j=[x_0,\dots,x_j]f\) mache Dir eine kleine Tabelle$$\begin{array}{r|rrrrr} j& x_j& f_j\\\hline 0& -2& {\color{red}4}\\ 1& 2& 8& {\color{red}1}\\ 2& 0& 10& -1& {\color{red}-1}\\ 3& -4& -10& 5& -1& {\color{red}0}\\ \end{array}$$die Koeffizienten sind die rot markierten Werte in der Diagonalen. Wie das genau berechnet wird, ist in dem oben verlinkten Artikel beschrieben.

Hier das ganze noch mal als Graph:

https://www.desmos.com/calculator/yxifqjycgx

Die Interpolationspolynome \(w_1\) bis \(w_3\) habe ich gelb dargestellt.

Werten Sie das Interpolationspolynom für \( x=4 \) und \( x=7 \) aus.

das geht auch mit einer Tabelle$$\begin{array}{r|r|r|rr|rr}j& w_j& c_j& w_j(4)& c_j w_j(4)& w_j(7)& c_jw_j(7)\\\hline 0& 1& 4& 1& 4& 1& 4\\ 1& \cdot(x+2)& 1& 6& 6& 9& 9\\ 2& \cdot(x-2)& -1& 12& -12& 45& -45\\ 3& \cdot(x)& 0& {\color{grey}48}& 0& {\color{grey}315}& 0\\\hline & & & & -2& & -32\end{array}$$oben habe ich die \(w_j(x)\) für \(x=4\) und \(x=7\) berechnet. Wenn man diese mit den \(c_j\) multipliziert und die Produkte summiert, kommt man auf die gewünschten Ergebnisse. In diesem speziellen Fall müsste der Wert für \(w_3(x)\) nicht berechnet werden, da \(c_3=0\) ist$$f(4) = -2, \quad f(7)=-32$$Falls Du noch Fragen hast, so melde Dich bitte.

Comments

Vielen Dank für deine Antwort.

Ich habe die komplette Frage nicht verstanden, wie ich vorgehen soll und etc..

D.h was du oben dargetsellt hast, ist die Lösung dieser Aufgabe und der Link beschreibt, wie ich auf diese Lösung kommen kann?

Viele Grüße

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Ich habe die komplette Frage nicht verstanden

Dann ist Dir schwer zu helfen, da ich nicht weiß, wo ich mit dem Erklären anfangen soll. Weißt Du was ein Polynom ist?

Weißt Du was dieser Term bedeutet?$$p_{n}(x)=\sum \limits_{j=0}^{n}\left(\left[x_{0}, \ldots, x_{j}\right] f\right) w_{j}(x)$$Setze \(\left(\left[x_{0}, \ldots, x_{j}\right] f\right) = c_j\), dann wird' handlicher:$$p_{n}(x)=\sum \limits_{j=0}^{n}c_j w_{j}(x)$$Die \(c_j\) sind die Werte oben in rot und sind die Koeffizienten, die hier gemeint sind

bestimmen Sie ... die Koeffizienten \( \left[x_{0}, \ldots, x_{j}\right] f, j=0, \ldots, n \) und die Polynome \( w_{j}(x) \).

und die Polynome \(w_j(x)\) alias \(w_0(x)\) bis \(w_3(x)\) stehen oben in der Antwort. Die könnte man noch ausmultiplizieren. Bringt aber eigentlich hier nichts. \(n\) ist hier \(3\), falls das nicht klar ist.

Werten Sie das Interpolationspolynom für \( x=4 \) und \( x=7 \) aus.

das habe ich oben in der Antwort noch hinzu gefügt.

D.h was du oben dargestellt hast, ist die Lösung dieser Aufgabe und der Link beschreibt, wie ich auf diese Lösung kommen kann?

ja! ... und wenn Du das lernen möchtest, solltest Du es selber versuchen ;-)

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Hm, Werner

sag mal Du hast doch die nackten Polynomterme angegeben, wenn man die c-Faktoren ins Spiel nimmt würde das doch ehr so

aussehen, oder?

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wenn man die c-Faktoren ins Spiel nimmt würde das doch ehr so aussehen

ja genau - habe ich auch.

https://www.desmos.com/calculator/akjqqclcnv

Da \(c_3=0\) ist, fält der kubische Anteil "flach" ;-)

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Ok, vielen Dank.

Text erkannt:

Aufgabe 47 (8+2 Punkte). Berechnen Sie das Interpolationspolynom zu den Stützstellen, Funktionswerten und Ableitungswerten
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline\( x \) & 0 & 2 \\
\hline\( f(x) \) & 10 & 8 \\
\hline\( f^{\prime}(x) \) & 1 & \( -3 \) \\
\hline
\end{tabular}
mittels der Hermite-Interpolation, d.h. bestimmen Sie für die Darstellung
\( p_{n}(x)=\sum \limits_{j=0}^{n}\left(\left[\tilde{x}_{0}, \ldots, \tilde{x}_{j}\right] f\right) w_{j}(x) \)
die Koeffizienten \( \left[\tilde{x}_{0}, \ldots, \tilde{x}_{j}\right] f, j=0, \ldots, n \), und die Polynome \( w_{j}(x) \). Werten Sie das Interpolationspolynom für \( x=4 \) und \( x=7 \) aus.

Diese Aufgabe geht auch so gleich, wie 45 oder?

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Diese Aufgabe geht auch so gleich, wie 45 oder?

Nein - in Aufgabe 45 wurde nach der 'klassischen' Newton-Interpolation gefragt. Aufgabe 47 soll mit der Hermite-Interpolation gelöst werden. Diese ist eine Erweiterung der Newton-Interpolation. An den Stützstellen können auch Ableitungen gegeben sein - so wie hier.

https://www.youtube.com/watch?v=4O5drXe5bOQ

Diese Frage wurde hier schon gestellt.

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So, ich hab GeoGebra CAS jetzt überredet die drei Interpolationsarten
Vandermonde Matrix, Lagrange und Newton
selbständig zu rechnen.

Allerdings ohne Newton-Rekursion - Iterationlist() steigt nach dem zweiten Schritt aus - is eh immer ein recht unzuverlässiger Kandidat. Überhaupt, viele Autoren stürzen sich mit einem großen Eifer darauf das LGS der c_j rekursiv zu lösen. Entwicklen eine schwerverständlichen Notation und Darzustellung anstatt das sie das zugrundliegende LGS sauber aufschreiben und durch Vorwärtseinsetzen lösen.

Bei Interesse mache ich die App gerne zugänglich...