Bestimmen Sie das Newtonsche Interpolationspolynom zu den nachfolgenden Messdaten

Question

Die Aufgabe lautet:

Bestimmen Sie das Newtonsche Interpolationspolynom zu den nachfolgenden Messdaten.

i	0	1	2	3	4
xi	-1	0	1	2	3
f(xi)	-7	-1	1	10	17

Answer 1

Die Basis der Newton-Interpolation lautet:

N₀(x) = 1

N_i(x) = ∏_j=0^i-1 (x-x_j)

wobei i von 1 bis zur Anzahl der gegebenen Punkte läuft.

Damit lautet der Ansatz für deine Funktion wegen n = 4

f(x) = c₀ + c₁(x+1) + c₂(x+1) x + c₃ (x+1) x (x-1) + c₄ (x+1) x (x-1) (x-2)

Der Trick an diesem Verfahren ist, dass beim Einsetzen der gegebenen Punkte viele Summanden bereits wegfallen.

Man erhält das Gleichungssystem:

c₀ = -7
c₀ + c₁ = -1
c₀ + 2c₁ + 2c₂ = 1
c₀ + 3c₁ + 6c₂ + 6c₃ = 10
c₀ + 4c₁ + 12c₂ + 24c₃ + 24c₄ = 17

Dieses Gleichungssystem lässt sich sehr einfach von oben nach unten lösen, man erhält:

c₀ = -7
c₁ = 6
c₂ = -2
c₃ = 11/6
c₄ = -5/6

Also:

f(x) = -7 + 6(x+1) - 2(x+1)x + 1/2 (x+1)x(x-1) + 1/2(x+1)x(x-1)(x-2)

Durch ausmultiplizieren der Klammern erhält man:

f(x) = -1+ x/2 - 7/6 x^2 + 7/2 x^3 - 5/6 x^4