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Aufgabe:

Text erkannt:

\begin{tabular}{c|c|c|c|c}
\( x \) & \( -2 \) & 2 & 0 & \( -4 \) \\
\hline\( f(x) \) & 4 & 8 & 10 & \( -10 \)
\end{tabular}

Bildschirmfoto 2023-01-11 um 19.11.18.png

Berechnen Sie das das Interpolationspolynom zu folgenden Stellen und Werte

1. bestimmen der Koeffizienten aᴶ für

Text erkannt:

\( p_{n}(x)=\sum \limits_{j=0}^{n} a_{j} x^{j} \)

Bildschirmfoto 2023-01-11 um 19.14.08.png

mithilfe der Vandermonde Matrix

2. bestimmen der Koeffizienten f(xᴶ) und der Polynome Lᴶᴺ für:

Bildschirmfoto 2023-01-11 um 19.16.38.png

Text erkannt:

\( p_{n}(x)=\sum \limits_{j=0}^{n} f\left(x_{j}\right) l_{j n}(x) \)

 3. Werten Sie das Polynom für x = 4 und x = 7 aus


Problem/Ansatz: Ich habe bei der 1. die Werte in die Gleichung p(x) = a0+a1x+a2x²+a3x³ eingesetzt und die entsprechende Vandermonde Matrix gebildet. Allerdings kam als Lösung der Matrix / Gleichungssystems das Ergebnis: ,,keine Lösung" heraus und ich weiß ab hier nicht mehr weiter.

Ich habe für:

p(-2) = a0-2a1-4a2-8a3; p(2) = a0+2a1+4a2+8a3; p(0) = a0; p(-4) = a0-4a1-16a2-64a3 ist das korrekt und wenn ja wo liegt dann mein Fehler.


Bei 2. und 3. kann ich nicht weitermachen solange ich die 1 nicht gelöst habe.

Danke schonmal im Voraus :)

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Zumindest sind Vorzeichenfehler erkennbar...

Das LGS führt auf

\(  \left(\begin{array}{rrrr}-8&4&-2&1\\8&4&2&1\\0&0&0&1\\-64&16&-4&1\\\end{array}\right) \vec{a} = \left(\begin{array}{r}4\\8\\10\\-10\\\end{array}\right)\)

und hat die Lösung

\(  \left\{ a_0 = 10, a_1 = 1, a_2 = -1, a_3 = 0 \right\}   \)

Avatar von 21 k

Danke vielmals!

Eine Frage noch. Wenn ich jetzt die 2. bearbeite muss dann p(x) gleich dem p(x) aus der ersten Aufgabe entsprechen?

Die Notation der 2. Aufgabe sagt mir nix...

Vermutlich handelt es sich um die Darstellung mit Hilfe der Lagrange Polynome. Dann erhält man dasselbe Polynom wie zuvor- natürlich zunächst in einer anderen Darstellung.

Ja genau es handelt sich hierbei um Lagrange-Darstellung für die man die Koeffizienten  f(xj) und Polynome l(x) bestimmen muss

@Mathhilf

Jetzt, wo Du es sagst ;-), also

\(L_{i,i≠k} = \prod\limits_{k=1}^{n}\frac{x - x_k}{x_i - x_k}\)

@spike

>Koeffizienten  f(xj) und Polynome l(x) bestimmen muss <

f(xj) ist gegeben, jetzt kannst Du ja die 2 machen, oder?

Dachte ich zumindest. Ich habe Lagrange angewandt und ich habe 4x²-4x-10 herausbekommen, allerdings steht das in keinem Verhältnis zu dem Ergebnis aus 1. (-x²+x+10) und somit erhalte ich mit der Lösung aus 2.(also: 4x²-4x-10) nicht die richtigen Funktionswerte für die angegebenen Stützstellen. Es wäre nett wenn Sie zeigen könnten was ich falsche gemacht habe bzw. vielleicht ist das Ergebnis aus 1. nicht richtig?

z.B. die Faktoren des Ljn-Produkts

\(\left(\begin{array}{rrr}\frac{-\left(x - 2 \right)}{4}&\frac{-x}{2}&\frac{x + 4}{2}\\\frac{x + 2}{4}&\frac{x}{2}&\frac{x + 4}{6}\\\frac{x + 2}{2}&\frac{-\left(x - 2 \right)}{2}&\frac{x + 4}{4}\\\frac{-\left(x + 2 \right)}{2}&\frac{-\left(x - 2 \right)}{6}&\frac{-x}{4}\\\end{array}\right)\)

wären zeilenweise zu multiplizieren mit Y

\( \left( \frac{1}{16} \; x^{3} + \frac{1}{8} \; x^{2} - \frac{1}{2} \; x, \frac{1}{48} \; x^{3} + \frac{1}{8} \; x^{2} + \frac{1}{6} \; x, \frac{-1}{16} \; x^{3} - \frac{1}{4} \; x^{2} + \frac{1}{4} \; x + 1, \frac{-1}{48} \; x^{3} + \frac{1}{12} \; x \right) \small \left(\begin{array}{r}4\\8\\10\\-10\\\end{array}\right) \) 

oke danke für die schnellen Rückmeldungen. Ich habe jetzt auch das richtige Ergebnis raus :)

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