Interpolationspolynom zu den Messwerten

Question

Ich brauche Hilfe für diese Aufgabe

Aufgabe:

Geben Sie das Interpolationspolynom $p$ zu den Messwerten

x	0	1	3
f	4	3	13

an, und zwar in der Form

1. $p(x)=\sum c_{i} x^{i}$. Geben Sie die $c_{i}$ für obige Daten explizit an.
2. $p(x)=\sum f_{i} L_{i}(x)$. Geben Sie die $L_{i}(x)$ für obige Daten explizit an.
3. $p(x)=\sum a_{i} w_{i}(x) .$ Geben Sie die $a_{i}, w_{i}(x)$ für obige Daten explizit an.

Answer 1

Hallo,

Für den Fall 1 muss man folgendes LGS lösen: $$\begin{pmatrix}1& 0& 0\\ 1& 1& 1\\ 1& 3& 9\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}c_0\\ c_1\\ c_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4\\ 3\\ 13\end{pmatrix}$$Die Lösung ist $c_0 = 4$, $c_1 = -3$ und $c_2=2$. Und die Funktion sieht so aus:

Plotlux öffnen

f₁(x) = 2x²-3x+4Zoom: x(-3…5) y(-1…14)P(0|4)P(1|3)P(3|13)

Im Fall 2 gehe ich davon aus, dass die $L_i(x)$ die Lagrange-Polynome sein sollen. Dann ist$$L_i(x) = \prod_{\begin{array}{}j=0 \\ j \ne i\end{array}}^2 \frac{x-x_j}{x_i-x_j} \\ L_0(x) = \frac{x-1}{0-1} \cdot \frac{x-3}{0-3} = \frac 13(x-1)(x-3) \\ L_1(x) = \frac{x-0}{1-0} \cdot \frac{x-3}{1-3} = - \frac 12 x(x-3)\\ L_2(x) = \frac{x-0}{3-0} \cdot \frac{x-1}{3-1} = \frac 16 x(x-1)$$diese Polynome haben die Eigenschaft, dass sie nur an einer Stützstelle den Wert 1 und an allen anderen den Wert 0 annehmen. Wie man hier sieht:

Plotlux öffnen

f₁(x) = (x-1)(x-3)/3P(0|1)f₂(x) = -x·(x-3)/2P(1|1)f₃(x) = x·(x-1)/6P(3|1)x = 1x = 3

Im Fall 3 würde ich die Polynominterpolation nach Newton vermuten. $$\begin{aligned} p(x) &= \sum a_i w_i(x) \\ &= a_0 + a_1(x-x_0) + a_2(x-x_0)(x-x_1) \\ a_0 &= f_0 = 4 \\ a_1 &= \frac {f_1 - a_0}{x_1 - x_0} = \frac{3-4}{1-0} = -1 \\ a_2 &= \frac{y_2 - a_0 - a_1(x_2-x_0)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)} \\&= \frac{13 - 4 - (-1)(3-0)}{(3-0)(3-1)} = 2 \end{aligned}$$die $w_i(x)$ schaffst Du allein ..

Gruß Werner

Answer 2

Hallo

wie genau ist li und wi definiert?

 a) f(x)=c0+c1x+c2x²

 Werte einsetzen und das GS für die ci lösen.

entsprechend die 2 anderen bei bekannten Li und wi

Gruß lul