Hallo,
Für den Fall 1 muss man folgendes LGS lösen: $$\begin{pmatrix}1& 0& 0\\ 1& 1& 1\\ 1& 3& 9\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}c_0\\ c_1\\ c_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4\\ 3\\ 13\end{pmatrix}$$Die Lösung ist \(c_0 = 4\), \(c_1 = -3\) und \(c_2=2\). Und die Funktion sieht so aus:
~plot~ 2x^2-3x+4;[[-3|5|-1|14]];{0|4};{1|3};{3|13} ~plot~
Im Fall 2 gehe ich davon aus, dass die \(L_i(x)\) die Lagrange-Polynome sein sollen. Dann ist$$L_i(x) = \prod_{\begin{array}{}j=0 \\ j \ne i\end{array}}^2 \frac{x-x_j}{x_i-x_j} \\ L_0(x) = \frac{x-1}{0-1} \cdot \frac{x-3}{0-3} = \frac 13(x-1)(x-3) \\ L_1(x) = \frac{x-0}{1-0} \cdot \frac{x-3}{1-3} = - \frac 12 x(x-3)\\ L_2(x) = \frac{x-0}{3-0} \cdot \frac{x-1}{3-1} = \frac 16 x(x-1)$$diese Polynome haben die Eigenschaft, dass sie nur an einer Stützstelle den Wert 1 und an allen anderen den Wert 0 annehmen. Wie man hier sieht:
~plot~ (x-1)(x-3)/3;{0|1};-x*(x-3)/2;{1|1};x*(x-1)/6;{3|1};x=1;x=3 ~plot~
Im Fall 3 würde ich die Polynominterpolation nach Newton vermuten. $$\begin{aligned} p(x) &= \sum a_i w_i(x) \\ &= a_0 + a_1(x-x_0) + a_2(x-x_0)(x-x_1) \\ a_0 &= f_0 = 4 \\ a_1 &= \frac {f_1 - a_0}{x_1 - x_0} = \frac{3-4}{1-0} = -1 \\ a_2 &= \frac{y_2 - a_0 - a_1(x_2-x_0)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)} \\&= \frac{13 - 4 - (-1)(3-0)}{(3-0)(3-1)} = 2 \end{aligned}$$die \(w_i(x)\) schaffst Du allein ..
Gruß Werner
