Berechnen Sie das das Interpolationspolynom zu folgenden Stellen und Werte

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

\begin{tabular}{c|c|c|c|c}
\( x \) & \( -2 \) & 2 & 0 & \( -4 \) \\
\hline\( f(x) \) & 4 & 8 & 10 & \( -10 \)
\end{tabular}

Berechnen Sie das das Interpolationspolynom zu folgenden Stellen und Werte

1. bestimmen der Koeffizienten aᴶ für

Text erkannt:

\( p_{n}(x)=\sum \limits_{j=0}^{n} a_{j} x^{j} \)

mithilfe der Vandermonde Matrix

2. bestimmen der Koeffizienten f(xᴶ) und der Polynome Lᴶᴺ für:

Text erkannt:

\( p_{n}(x)=\sum \limits_{j=0}^{n} f\left(x_{j}\right) l_{j n}(x) \)

 3. Werten Sie das Polynom für x = 4 und x = 7 aus

Problem/Ansatz: Ich habe bei der 1. die Werte in die Gleichung p(x) = a0+a1x+a2x²+a3x³ eingesetzt und die entsprechende Vandermonde Matrix gebildet. Allerdings kam als Lösung der Matrix / Gleichungssystems das Ergebnis: ,,keine Lösung" heraus und ich weiß ab hier nicht mehr weiter.

Ich habe für:

p(-2) = a0-2a1-4a2-8a3; p(2) = a0+2a1+4a2+8a3; p(0) = a0; p(-4) = a0-4a1-16a2-64a3 ist das korrekt und wenn ja wo liegt dann mein Fehler.

Bei 2. und 3. kann ich nicht weitermachen solange ich die 1 nicht gelöst habe.

Danke schonmal im Voraus :)

Answer 1

Zumindest sind Vorzeichenfehler erkennbar...

Das LGS führt auf

\(  \left(\begin{array}{rrrr}-8&4&-2&1\\8&4&2&1\\0&0&0&1\\-64&16&-4&1\\\end{array}\right) \vec{a} = \left(\begin{array}{r}4\\8\\10\\-10\\\end{array}\right)\)

und hat die Lösung

\(  \left\{ a_0 = 10, a_1 = 1, a_2 = -1, a_3 = 0 \right\}   \)

Comments

Danke vielmals!

Eine Frage noch. Wenn ich jetzt die 2. bearbeite muss dann p(x) gleich dem p(x) aus der ersten Aufgabe entsprechen?

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Die Notation der 2. Aufgabe sagt mir nix...

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Vermutlich handelt es sich um die Darstellung mit Hilfe der Lagrange Polynome. Dann erhält man dasselbe Polynom wie zuvor- natürlich zunächst in einer anderen Darstellung.

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Ja genau es handelt sich hierbei um Lagrange-Darstellung für die man die Koeffizienten  f(xj) und Polynome l(x) bestimmen muss

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@Mathhilf

Jetzt, wo Du es sagst ;-), also

\(L_{i,i≠k} = \prod\limits_{k=1}^{n}\frac{x - x_k}{x_i - x_k}\)

@spike

>Koeffizienten  f(xj) und Polynome l(x) bestimmen muss <

f(xj) ist gegeben, jetzt kannst Du ja die 2 machen, oder?

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Dachte ich zumindest. Ich habe Lagrange angewandt und ich habe 4x²-4x-10 herausbekommen, allerdings steht das in keinem Verhältnis zu dem Ergebnis aus 1. (-x²+x+10) und somit erhalte ich mit der Lösung aus 2.(also: 4x²-4x-10) nicht die richtigen Funktionswerte für die angegebenen Stützstellen. Es wäre nett wenn Sie zeigen könnten was ich falsche gemacht habe bzw. vielleicht ist das Ergebnis aus 1. nicht richtig?

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z.B. die Faktoren des Ljn-Produkts

\(\left(\begin{array}{rrr}\frac{-\left(x - 2 \right)}{4}&\frac{-x}{2}&\frac{x + 4}{2}\\\frac{x + 2}{4}&\frac{x}{2}&\frac{x + 4}{6}\\\frac{x + 2}{2}&\frac{-\left(x - 2 \right)}{2}&\frac{x + 4}{4}\\\frac{-\left(x + 2 \right)}{2}&\frac{-\left(x - 2 \right)}{6}&\frac{-x}{4}\\\end{array}\right)\)

wären zeilenweise zu multiplizieren mit Y

\( \left( \frac{1}{16} \; x^{3} + \frac{1}{8} \; x^{2} - \frac{1}{2} \; x, \frac{1}{48} \; x^{3} + \frac{1}{8} \; x^{2} + \frac{1}{6} \; x, \frac{-1}{16} \; x^{3} - \frac{1}{4} \; x^{2} + \frac{1}{4} \; x + 1, \frac{-1}{48} \; x^{3} + \frac{1}{12} \; x \right) \small \left(\begin{array}{r}4\\8\\10\\-10\\\end{array}\right) \) 

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oke danke für die schnellen Rückmeldungen. Ich habe jetzt auch das richtige Ergebnis raus :)