Die Injektivität und Surjektivität von x^3+x beweisen durch auflösen

Question

Aufgabe:

f(x) = x^3+x

Problem/Ansatz:

ich weiß, dass die o.g. Funktion Injektiv und Surjektiv ist, das lässt sich schon am Graphen ablesen. Was mit allerdings ein bisschen Probleme bereitet ist, das jeder die Eigenschaften anders definiert.

Ich habe schon mehrere Videos und Skripte dazu geguckt, aber überall wird die Gleichung anders aufgelöst. Wie wäre jetzt die beste Vorgehensweise um per Definition zu beweisen, das die Funktion Injektiv ist? Und wie gehe ich am besten vor um die Surjektivität zu beweisen?

Answer 1

Hallo

du musst deine Frage schon genauer stellen, wenn du schon mehrere Sachen dazu gelesen hast, woher soll ich wissen ob das was ich schreibe neu ist.

 surjektiv: zeige dass x^3+x=r für jedes r eine Lösung hat, d.h f(x)=x^3+x-r hat mindestens eine Nullstelle.

"das jeder die Eigenschaften anders definiert." ist sehr eigenartig, halt dich an die Definition deiner Vorlesung, sonst der von Wikipedia.

Gruß lul

Comments

Das tue ich bereits. Bei Injektivität darf y nur genau ein x haben, bei Surjektivität muss es mind. ein x haben. Mit dem Satz "das jeder die eigenschaften anders definiert" da hab ich mich wirklich falsch ausgedrückt, was ich meinte war das jeder anders an die Aufgabe gegangen ist um diese zu lösen.

Was ich nun noch entdeckt habe ist, das man die Injektivität dieser Aufgabe mit der Monotie bestimmen kann. Allerdings hat der Typ das im Video "für selbstverständlich" gehalten und hat nur nur die Ableitung gemacht und gesagt "3x^2+1 ist somit (streng) Monoton steigend und damit Injektiv". Ok gut, Funktion ist monoton steigend das verstehe ich, aber muss ich denn nicht noch irgendwas dazu angeben um zu beweisen das es monoton steigend ist?

---

Hallo

 wenn ihr in der Vorlesung hattet, dass die Ableitung die Steigung angibt, kannst du die Monotonie aus x^2>=0 und deshalb x^2+1>1

wenn nicht musst du zeigen aus x1<x2 folgt x1^3+x1<x2^3+x2.

Gruß lul

---

Habe mit dem Prof geredet, geht so in Ordnung, danke dir!