Surjektivität und Injektivität beweisen

Question

Aufgabe:

Injektivität Subjektivität beweisen: \( F(x) =(x_1-x_2,x_2-x_1)^T \)

Problem/Ansatz:

Komme entweder auf 0 oder die 1. Gleichung zurück, wenn ich versuche x_1 oder x_2 aufzulösen.

In wie fern kann ich den Beweis durchführen, soll ein 2-Dim Vektor sein.

Genauere Fragestellung (Nachtrag):

$$\begin{array}{l}{\text { Gegeben seien eine lineare Abbildung } \varphi : \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \text { und Vektoren } v_{1}, v_{2} \in \mathbb{R}^{2} \text { mit }} \\ {\qquad \varphi\left(\begin{array}{c}{x_{1}} \\ {x_{2}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{x_{1}-x_{2}} \\ {x_{2}-x_{1}}\end{array}\right), v_{1}=\left(\frac{3}{5}\right), v_{2}=\left(\begin{array}{c}{-\frac{4}{5}} \\ {\frac{3}{5}}\end{array}\right) \in \mathbb{R}^{2}}\end{array}$$
Soll Phi auf Injektivität und Surjektivität prüfen

Problem/Ansatz:
Für die Injektivität
x1-x2=y1-y2
x2-x1=y2-y1
x1-x2=y1-y2
x1-x2=y1-y2
x1=x1,x2=x2,y1=y1,y2=y2

Surjektivität
Nur für y1=x1-x2 und y2=x2-x1

Answer 1

Die Injektivität ist nicht erfüllt. Ich habe mir dazu folgendes gedacht:

Comments

x₁=x₁ ∧ x₂=x₂ ∧ y₁=y₁ ∧ y₂=y₂

Gilt das nicht immer?

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Ja. War halt nur so da hingeschrieben. Man kommt einfach darauf, wenn man zB die untere Gleichung in die erste einsetzt. Aber das ganze hat mich dann etwas stutzig gemacht, sodass mir der Gedanke kam, mal Gegenbeispiele zu suchen.

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Danke für die ausführliche Lösung.

In wie fern kann man aus den Gleichungen ableiten, dass x1 nur gleich x1 ist?

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Das kann man so sehen (auch wenn das komplett dämlich ist so zu machen...)

Wir haben zunächst

$$ x_1-x_2=y_1-y_2\\x_2-x_1=y_2-y_1\quad |:(-1) $$

$$ x_1-x_2=y_1-y_2\\x_1-x_2=y_1-y_2 $$

Jetzt setze ich beide Gleichungen gleich:

$$ x_1-x_2=y_1-y_2=y_1-y_2=x_1-x_2 \Leftrightarrow x_1-x_2=x_1-x_2$$

Und jetzt such es dir aus, ob du x_2 oder x_1 auf beiden Seiten abziehst.

Damit ist dann (Überraschung) x_1=x_1.

Ist zwar wahr, aber für die weitere Erkenntnis nutzlos.

Man kann somit dann auch auf die letzten drei anderen Gleichheiten kommen.

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komme bei der Surjektivität auf

y1=x1-x2

y2=x2-x1

wie schließe ich dann darauf, dass sie nicht surjektiv ist?

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Du kannst es per Widerspruch machen.

$$ \text{Dafür sei } \begin{pmatrix} y_1\\ y_2\end{pmatrix}\in \mathbb{R}^2 \text{ beliebig gewählt. Löse dann folgendes LGS:}\\ (a)\quad x_1-x_2=y_1\\(b)\quad x_2-x_1=y_2 \quad |(b)+(a)\\[10pt] (a)\quad x_1-x_2=y_1\\(b')\qquad \quad 0=y_1+y_2\\[10pt]\text{Dann muss aber auch } y_1=-y_2 \text{ immer gelten, was aber im Widerspruch} \\\text{dazu steht, dass }\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2\end{pmatrix} \in \mathbb{R}^2 \text{ beliebig gewählt war.}$$