Isometrie und Diagonalmatrix finden.

Question

Aufgabe:

Es sei A = $$ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} $$ ∈ ℝ^3x3.

Finden Sie eine Isometrie B ∈ ℝ^3x3 (das heißt eine Matrix B, für die B B^T = I₃ gilt) und eine Diagonalmatrix D ∈ ℝ^3x3 so, dass B^T AB = D

Problem/Ansatz:

Ich hab bereits über die Eigenwerte und Eigenräume die Diagonalmatrix ermitteln können. Dabei hab ich wenn die Matrix P aus den Eigenvektoren als Spalten besteht, die Formel P^-1 A  P = D genutzt. Da jedoch nicht P^-1 = P^T gilt, ist P keine Isometrie wie es in der Aufgabenstellung verlangt wird.

Answer 1

Hallo Yami,

Da jedoch nicht P-1 = PT gilt, ...

Dann hast Du wahrscheinlich vergessen, die Spaltenvektoren in \(P\) zu normieren.

Ich hab bereits über die Eigenwerte und Eigenräume die Diagonalmatrix ermitteln können.

\(\varphi\) sei das Verhältnis des goldenen Schnitts \(\varphi=(\sqrt 5 + 1)/2\), dann hast Du wahrscheinlich $$P= \begin{pmatrix}-\varphi& \varphi - 1& 0\\ 1& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{pmatrix}$$Die Spaltenvektoren von \(P\) stehen zwar senkrecht zu einander, haben aber nicht die Länge von 1. Also normiere sie einfach - für Eigenvektoren spielt die Länge keine Rolle! $$B= \begin{pmatrix}-\sqrt{\frac{2+\varphi}5}& \frac{1}{\sqrt{2+\varphi}}& 0\\ \frac 1{\sqrt{2+\varphi}}& \sqrt{\frac{2+\varphi}5}& 0\\ 0& 0& 1\end{pmatrix}\approx \begin{pmatrix}-0.8507& 0.5257& 0\\ 0.5257& 0.8507& 0\\ 0& 0& 1\end{pmatrix}$$

Comments

Vielen Dank, das hat mir sehr geholfen :)