Sei R ein beliebiger Rotationskörper um die x-Achse. Bestimme das Volumen von R.

Question

Aufgabe:

Es sei R jetzt ein beliebiger Rotationskörper um die x-Achse, d.h. es existiert eine stetige Funktion f: [a,b]  ->  R_{≥0} mit

R= { f(x, y,z) ϵ R^{3}:y^{2}+z^{2}≤f(x),a≤x≤b }

Man bestimme eine Formel für das Volumen von R.

Hat jemand Ahnung, wie man das löst? Ich habe da keine Ahnung.

Answer 1

Der Flächeninhalt unter dem Funktionsgraphen ist der Grenzwert der Untersummen. Summiert werden dabei Flächeninhalte von Rechtecken.

Nach dem gleichen Prinzip bekommst du das Volumen des Rotationskörpers. Du musst dazu Volumina von Zylindern summieren.

Das liefert

        V = π · ∫_a..b f(x)² dx.