Volumen des Rotationskörper um x-achse zwischen 0 und 1

Question

Hey

Ich habe Problem mit die folgende Aufgabe

Also ich habe schon angefangen, aber ich komme nicht weiter.

Kann mir jemand die Lösungsweg vielleicht erklären.

Auf eure Hilfe würde ich mich freuen :)

Text erkannt:

Berechnen Sie das Volumen des Rotationskörpers, der durch Rotation des Schaubildes der Funktion \( f \) um die \( x \)-Achse zwischen \( x=0 \) und \( x=1 \) entsteht, mit
\( f(x)=\frac{1}{2 x+2} \)
\( \begin{array}{l} V=\int \limits_{a}^{b}\left(\pi_{0} \cdot(f(x))^{2}\right) d x \\ V=\int \limits_{0}^{1} \pi \cdot\left(\frac{1}{2 x+2}\right)^{2} d x \\ V=\pi \int \limits_{0}^{1} \frac{1}{(2 x+2)^{2}} d x \end{array} \)

Answer 1

Aloha :)

Das sieht bisher alles gut aus... Tschaka ;)

Du musst nur noch das Integral ausrechnen:$$V=\pi\int\limits_0^1\frac{1}{(2x+2)^2}\,dx$$Ich empfehle dafür die Substitutionsmethode:$$u(x)\coloneqq(2x+2)\implies u(0)=2\;;\;u(1)=4\;;\;\frac{du}{dx}=2\;\text{bzw.}\;dx=\frac{du}{2}$$Damit erhalten wir:$$V=\pi\int\limits_2^4\frac{1}{u^2}\,\frac{du}{2}=\frac\pi2\int\limits_2^4u^{-2}\,du=\frac\pi2\left[-u^{-1}\right]_2^4=\frac\pi2\left(-\frac14+\frac12\right)=\frac\pi8$$