Rotationskörper Aufgabe (Volumen,Integral)

Question

Aufgabe:

Beschreiben Sie einen Körper, dessen Volumen V man so berechnen kann:

V = π\( \int\limits_{0}^{5} \)2² - π\( \int\limits_{0}^{5} \)1,5²

.Begründung, warum V =  π\( \int\limits_{0}^{5} \)(f(x))²  - π\( \int\limits_{0}^{5} \)(g(x))²

                                             ⁼ π\( \int\limits_{0}^{5} \)((f(x))² - (g(x))² dx

                                     aber ≠ π\( \int\limits_{0}^{5} \)(f(x) - g(x))² dx

Wäre nett, wenn ihr mir weiterhelfen könntet. :)

Problem/ Mein Ansatz:

- zwischen zwei Graphen rotierende Flächen(zwischen 0 und 5)

- Hohlkörper muss einzeln abgezogen werden

Comments

f = 2^2
f = 4
Dies wäre eine Gerade zur x-achse
im Abstand 4.

Bist du dir mit der Funktionsangabe sicher ?

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Joa, habe allerdings dx vergessen.

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siehe Mathe-Formelbuch,was du privat in jedem Buchladen bekommst.

Kapitel,Integralrechnung,Integrationsregeln,Grundintegrale,Anwendung der Integralrechnung

Volumen einen Rotationskörpers um die x-Achse

V=pi*∫y²*dx

bei dir V1=pi*∫2²*dx → y=f(x)=2=konstant → eine waagerechte Gerade parallel zur x-Achse

V2=pi*∫1,5²*dx → y=f(x)=1,5=konstant → eine waagerechte Gerade parallel zur x-Achse

Also ein Zylinder

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Aber denkst du, dass man dafür auch eine Begründung abgeben könnte warum generell das nicht erlaubt ist.

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Es geht nur um die Lösung von Aufgaben und nicht darum,was erlaubt ist.

Privat zu Hause kann man machen,was man will.

Answer 1

Ein Zylinder, Länge 5, Außendurchmesser 4, Innendurchmesser 3.

Das nach "aber" ist ein Zylinder mit Durchmesser 1.

Comments

Also sollte man keine allgemeine Begründung abgeben, wieso π\( \int\limits_{0}^{5} \)(f(x) - g(x)⁾² dx nicht geht

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Ich habe das Wort "allgemein" in der Aufgabenstellung nicht gefunden.

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Danke. Meiner allerdings mit allgemein vor allem die Regeln zur Aufstellung des Rotationsvolumen.

Denkst du , dass explizit diese Begründung gesucht war?

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Ich meine, es war das gefragt was ich beantwortet habe.

Answer 2

f(x)=2x  und g(x)=1,5x

\( A_{1}=\int \limits_{0}^{5} 2 x \cdot d x=\left[x^{2}\right]_{0}^{5}=25-0=25 \)
\( A_{2}=\int \limits_{0}^{5} \frac{3}{2} x \cdot d x=\left[\frac{3}{4} x^{2}\right]_{0}^{5}=3 \cdot \frac{25}{4}-0=\frac{75}{4} \)
Die von den beiden Funktionen eingeschlossene Fläche beträgt \( A=A_{1}-A_{2}=25-\frac{75}{4}=\frac{25}{4} \) Flächeneinheiten.
\( h(x)=f(x)-g(x)=2 x-1,5 x=0,5 x \)
\( A=\int \limits_{0}^{5} \frac{1}{2} x \cdot d x=\left[\frac{x^{2}}{4}\right]_{0}^{5}=\frac{25}{4}-0=\frac{25}{4} \)
Beide Wege ergeben die gleiche Größe der der eingeschlossenen Fläche.
\( V_{1}=\pi \cdot \int \limits_{0}^{5}(2 x)^{2} \cdot d x=\pi \cdot \int \limits_{0}^{5} 4 x^{2} \cdot d x=\pi \cdot\left[\frac{4}{3} x^{3}\right]_{0}^{5}=\frac{4}{3} \cdot 125 \cdot \pi=\frac{500}{3} \cdot \pi \)
\( V_{2}=\pi \cdot \int \limits_{0}^{5}\left(\frac{3}{2} x\right)^{2} \cdot d x=\pi \cdot \int \limits_{0}^{5} \frac{9}{4} x^{2} \cdot d x=\pi \cdot\left[\frac{9}{4 \cdot 3} x^{3}\right]_{0}^{5}=\pi \cdot\left[\frac{3}{4} x^{3}\right]_{0}^{5}=\frac{3}{4} \cdot 125 \cdot \pi=\frac{375}{4} \cdot \pi \)
\( V_{1}-V_{2}=\frac{500}{3} \cdot \pi-\frac{375}{4} \cdot \pi=\frac{875}{12} \cdot \pi \)
Das von den beiden Funktionen eingeschlossene Volumen beträgt \( \frac{875}{12} \cdot \pi \) Raumeinheiten.
\( h(x)=f(x)-g(x)=2 x-1,5 x=0,5 x \)
\( V=\pi \cdot \int \limits_{0}^{5}\left(\frac{1}{2} x\right)^{2} \cdot d x=\pi \cdot \int \limits_{0}^{5} \frac{1}{4} x^{2} \cdot d x=\pi \cdot\left[\frac{1}{12} x^{3}\right]_{0}^{5}=\frac{1}{12} \cdot 125 \cdot \pi \)
Nun ist \( \frac{875}{12} \cdot \pi \neq \frac{1}{12} \cdot 125 \cdot \pi \)
Somit ist der Weg nicht zielführend.