Aufgabe :
Bemerkung: für die Lösung dieser Aufgabe verwenden wir die Reihendarstellung( Taylorreihe zum Entwicklungspunkt x=0) von log(1+x) und von exp(x).
Ziel: Approximiere Eulersche Zahledurch eN:=$$ (1 +\frac{1}{N})^{N} $$ , sodass der Fehler |e−eN| ≈ε. Dabei bezeichnet ε das Maschinenepsilon.
Weiterführende Frage: Ist dies auf dem Rechner unter Berücksichtigung von Rundungsfehlern überhaupt möglich?
Wir beginnen mit der Analysis ohne Berücksichtigung von Rundungsfehlern. Es gilt:
zuerst verwenden wir die Reihendarstellungen um eN anders darzustellen.
$$ eN= exp\Big(log\Big(\Big(1 +\frac{1}{N}\Big)^{N}\Big)\Big)= exp\Big(N\cdot log\Big(1 + \frac{1}{N}\Big)\Big) \\ \\=exp{\Big(N\cdot \sum \limits_{i=0}^{\infty}}\frac{-1^{i+1}}{i!} \cdot \Big(\frac{1}{N}\Big)^{i}\Big) = exp\Big(N\cdot\Big(\frac{1}{N}+O\Big(\frac{1}{N^{2}}\Big)\Big)\Big) $$
Der Schritt in der 2. Zeile ist der den ich leider nicht ganz nachvollziehen kann. Wäre top wenn mir das jemand erklären könnte.
Beste Grüße
U.I.
