Welche Ordnung hat Z31*/<-1> und ist diese Gruppe zyklisch?

Question

Aufgabe:

Welche Ordnung hat  Z₃₁*/<-1> und ist diese Gruppe zyklisch? Ich gehe davon aus, dass es um die Multiplikation geht.

Problem/Ansatz:

Z₃₁* ist die Einheitengruppe von Z₃₁ und hat 30 Elemente, und ist nicht zyklisch. Soviel ist klar.

Nun zu Z₃₁*/<-1>:

Hier bin ich erst mal über das Minus gestolpert, aber -1 ist ja kongruent zu 1 (oder ist es kongruent zu 30???). 1 wäre dann in dem Beispiel kongruent zu 0, richtig? Wären dann nicht aber auch alle anderen Elemente kongruent zu 0? Oder habe ich gerade einen Denkfehler?

Bei der Frage, ob zyklisch oder nicht, hänge ich dann logischerweise auch...

Comments

Z31* ist die Einheitengruppe von Z31 und hat 30 Elemente, und ist nicht zyklisch

Warum sollte Z31* nicht zyklisch sein? Alle endlichen Untergruppen der Einheitengruppe K* eines beliebigen Körper K sind zyklisch.

Hier Z31* eine endliche Untergruppe (trivial) von Z31* somit auch zyklisch.

Answer 1

Hier bin ich erst mal über das Minus gestolpert, aber -1 ist ja kongruent zu 1 (oder ist es kongruent zu 30???).

Die zweite Idee ist richtig. Es ist kongruent zu 30.

Answer 2

Ist zyklisch weil 31 Prim ist.........