Die Koeffizienten von A^(-1) liegen in ℚ

Question

Hallo

Ich habe Probleme bei folgender Aufgabe: Sei A=(a_ij) ∈ GL(n,ℝ). die Koeffizienten von A seien ganzzahlig. Zeigen Sie: Die Koeffizienten von A^-1 liegen in ℚ

Ich verstehe nicht ganz wie das sein kann und wie ich das zeigen soll.
Allgemein gilt ja  A*A^-1=E ,wenn ich also schreibe A^-1=A^-1*E verstehe ich nicht wie und warum die Koeffizienten auf einmal rational seien sollen.

Comments

Argumentiere über

$$ A^{-1}=\frac{A^\#}{\det(A)}$$

wobei \(A^\#\) die komplementäre Matrix ist.

Answer 1

Du kannst auch über den Algorithmus zur Bestimmung der Inversen argumentieren:

Dabei schreibt man sich ja üblicherweise A und die Einheitsmatrix nebeneinander

und formt dann simultan mit elementaren Zeilenumformungen um, bis

links die Einheitsmatrix und rechts die Inverse steht.

Dabei wird ja nur addiert und mit ganzen (nach dem ersten dividieren evtl.

auch nur noch rationalen) Zahlen multipliziert und durch sie

dividiert.   Dabei können immer nur rationale Zahlen entstehen.