Vom Endprodukt sollen 497 Mengeneinheiten gefertigt werden. Einsatz von Faktor A?

Question

Die Produktionsfunktion eines Unternehmens lautet

F(x,y)=51*x^0,46*y^0,43

wobei x uund y die eingesetzten Mengen der beiden Produduktionsfaktoren A und B bezeichnen. Die Kosten der Produktionsfaktoren betragen pro Mengeneinheit 7 und 2 Geldeinheiten. Vom Endprodukt sollen 497 Mengeneinheiten gefertigt werden. Für die Produktionskosten in Abhängigkeit von den eingesetzten Mengen der beiden Produktionsfaktoren A und B existiert unter dieser Nebenbedingung im ersten Quadranten genau eine lokale Extremstelle.

Wie hoch ist dort der Einsatz von Faktor A?

Mein Ansatz lautet hierbei, dass ich zuerst die Hauptbedingung und die Nebenbedingung aufgeschrieben habe. Dann bin ich wie folgt vorgegangen:

((0,46⋅51x^(−0,54)⋅y^(0,43))/(0,43⋅51^x(0,46)⋅y^(−0,57))=(7/2)

für x hab ich dann 0,306y erhalten. Jedoch das Ergebnis sollte 7,28 sein.

Kann man mir bitte hier den Rechenweg zeigen, wie ich auf das Ergebnis kommen kann? Vielen Dank im Voraus.

Comments

Bin kein Kaufmann.
F(x,y)=51*x^0,46 * y^0,43
Wie ist dein Ansatz ?
y = 497 - x
f = 51*x^0.46  * (497-x)^0.43
Sowie Kosten =  x * 7 + (497-x) * 2
g := f minus Kosten
g ( x ) = 51*x^0.46 * (497-x)^0.43 
  - ( x * 7 + ( 497 - x ) * 2 )

x = 207
y = 290

Answer 1

Wo liegt denn genau dein Problem? Wolframalpha findet doch schnell eine Lösung

Und so viele Möglichkeiten der Optimierung unter einer Nebenbedingung gibt es ja nicht.

Du du nicht mal irgendwelche Lagrange-Faktoren nennen sollst kannst du dir also ein Verfahren deiner Wahl aussuchen.

Comments

Quick & Dirty

[spoiler]

51·x^0.46·y^0.43 = 497 --> y = (497/51·x^(-0.46))^(1/0.43)

K = 7·x + 2·y

K = 7·x + 2·(497/51)^(100/43)/x^(46/43)

K' =  7 - 92·(497/51)^(100/43)/(43·x^(89/43)) = 0 --> x = 7.282532901

[/spoiler]

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Hallo

kannst du mir eventuell den Rechenweg zeigen - bitte sei so nett!

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Ansatz unter Lösung findest du oben im Kasten unter Quick and Dirty.

Nebenbedingung nach y auflösen und in Hauptbedingung einsetzen.

Hauptbedingung Ableiten, Null setzen und nach x auflösen.

Hilfe könntest du von Rechentools wie Wolframalpha oder Photomath in Anspruch nehmen, die dir Gleichungen auch Schrittweise lösen.

Da du weiterhin Lösungen vorgegeben hast, kommt es ja eigentlich nur auf eine Ungefähre Lösung an. D.h. du kannst einfach mit gerundeten Dezimalzahlen rechnen und brauchst keine exakten mathematischen Ausdrücke.

Answer 2

Aloha :)

Du sollst das Minimum der Kosten \(K(x,y)=7x+2y\) unter den Nebenbedingungen bestimmen, dass \(x,y\ge0\) sind [1. Quadrant] und die Produktionsmenge \(F(x,y)=51x^{0,46}y^{0,43}=497\) ist.

Die Nebenbedingung für die Produktionsmenge kannst du nach \(y\) auflösen:

$$\left.51x^{0,46}y^{0,43}=497\quad\right|\;:51$$$$\left.x^{0,46}y^{0,43}=\frac{497}{51}\quad\right|\;\cdot x^{-0,46}$$$$\left.y^{0,43}=\frac{497}{51}x^{-0,46}\quad\right|\;\left(\cdots\right)^{1/0,43}$$$$y=\left(\frac{497}{51}\right)^{1/0,43}x^{-\frac{0,46}{0,43}}$$Das kannst du jetzt in die Kostenfunktion \(K\) einsetzen$$K(x)=7x+2\left(\frac{497}{51}\right)^{1/0,43}x^{-\frac{0,46}{0,43}}$$

und die Ableitung \(K'(x)\) gleich 0 setzen:$$K'(x)=0$$$$7-\underbrace{2\,\frac{0,46}{0,43}\left(\frac{497}{51}\right)^{1/0,43}}_{\approx426,4049}x^{-\frac{0,46}{0,43}-1}=0$$$$7-426,4049x^{-\frac{0,89}{0,43}}=0$$$$426,4049\,x^{-\frac{89}{43}}=7$$$$x^{-\frac{89}{43}}=\frac{7}{426,4049}$$$$x=\left(\frac{7}{426,4049}\right)^{-\frac{43}{89}}\approx7,2825$$