(a+b)^p = a^p + b^p (mod p)

Question

Wir sollen zeigen, dass (a+b)^p = a^p + b^p (mod p) ist.

Jetzt habe ich mir den Satz von Fermat angeguckt a^p = a (mod p).

Das habe ich mir an einem Beispiel verdeutlicht a= 2 p= 3 , also 2^3= 8 --> = 2 (mod 3). Dies ist mir noch verständlich.

Aber warum lautet die Gleichung dann nicht = a + b (mod p), sonder a^p+b^p (mod p).

Kann mir hierbei jemand weiter helfen... Wie ich das beweisen kann?

 

Answer 1

Da

$$p| \binom{p}{i} \, \forall 0<i<p$$

folgt die Aussage direkt aus dem binomischen Lehrsatz.


Die Aussage gilt allgemein in jedem kommuatativen Ring der Charakteristik p, im Gegensatz zum kleinen Fermat.

Comments

Könntest du dafür mal ein Besipiel nennen? Was ist i ?

Ich verstehe es einfach nicht...

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i ist eine natürliche Zahl, sonst macht der Binomialkoeffizient kaum Sinn.

Ein Beispiel wofür?